Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrições dada(s):
f(x, y)=2 x^2+3 y^2-4 x-5 ; x^2+y^2 <= 16

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer achar os valores máximo e mínimo da função $ f(x, y) = 2x^{2} + 3y^{2} - 4x - 5 $ com a restrição de que $ x^{2} + y^{2} \leq 16 $. Isso significa que estamos procurando extremos da função dentro ou na fronteira de um círculo de raio 4 (já que $ \sqrt{16} = 4 $). Para resolver isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, uma técnica que ajuda a encontrar extremos de funções sujeitas a restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se há pontos críticos dentro da região definida pela restrição. Para isso, encontramos o gradiente da função $ f $ e igualamos a zero.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
f
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
f
Igualando ambos a zero:
x
partial fpartial x = 4x - 4
Então, temos um ponto crítico em $ (1, 0) $.

Passo 3

Agora, vamos verificar se esse ponto está dentro da restrição $ x^{2} + y^{2} \leq 16 $:
x^2 + y^2 <= 16
Sim, está dentro. Vamos calcular o valor da função nesse ponto:
1^2 + 0^2 = 1 <= 16
Então, temos um candidato para mínimo interno: $ f = -7 $ em $ (1, 0) $.

Passo 4

Agora, vamos procurar extremos na fronteira da região, onde $ x^{2} + y^{2} = 16 $. Para isso, usamos os multiplicadores de Lagrange. Definimos:
x^2 + y^2 = 16
onde $ g(x, y) = x^{2} + y^{2} - 16 $.
Calculando os gradientes:
nabla f = lambda nabla g
g(x, y) = x^2 + y^2 - 16
Então, temos o sistema:
nabla f = (4x - 4, 6y)
nabla g = (2x, 2y)
4x - 4 = lambda cdot 2x
Vamos analisar duas possibilidades para $ y $:
  1. Caso $ y \neq 0 $:
    De $ 6y = 2\lambda y $, temos $ \lambda = 3 $.
    Substituindo na primeira equação:
    6y = lambda cdot 2y
    Então, substituindo $ x = -2 $ na restrição:
    x^2 + y^2 = 16
    Então, temos dois pontos: $ (-2, 2\sqrt{3}) $ e $ (-2, -2\sqrt{3}) $.
  2. Caso $ y = 0 $:
    De $ 6y = 0 $, não obtemos informação adicional. Voltando à primeira equação:
    y
    Usando a restrição $ x^{2} = 16 \Rightarrow x = \pm 4 $.
    - Se $ x = 4 $:
    y neq 0
    • Se $ x = -4 $: 6y = 2lambda y
      Então, temos mais dois pontos: $ (4, 0) $ e $ (-4, 0) $.

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor da função $ f $ em cada um desses pontos da fronteira:
  1. Em $ (-2, 2\sqrt{3}) $:
f
  1. Em $ (-2, -2\sqrt{3}) $:
(-2, 2raiz3)
  1. Em $ (4, 0) $:
f(-2, 2raiz3) = 2(-2)^2 + 3(2raiz3)^2 - 4(-2) - 5 = 8 + 36 + 8 - 5 = 47
  1. Em $ (-4, 0) $:
(-2, -2raiz3)

Resposta

Os valores extremos da função são:
  • Mínimo interno: $ f(1, 0) = -7 $
  • Máximo na fronteira: $ f(-2, \pm 2\sqrt{3}) = 47 $
Portanto, o mínimo da função é -7 no ponto (1, 0) e o máximo é 47 nos pontos (-2, ±2√3).

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