Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrições dada(s):
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer achar os valores máximo e mínimo da função $ f(x, y) = 2x^{2} + 3y^{2} - 4x - 5 $ com a restrição de que $ x^{2} + y^{2} \leq 16 $. Isso significa que estamos procurando extremos da função dentro ou na fronteira de um círculo de raio 4 (já que $ \sqrt{16} = 4 $). Para resolver isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, uma técnica que ajuda a encontrar extremos de funções sujeitas a restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se há pontos críticos dentro da região definida pela restrição. Para isso, encontramos o gradiente da função $ f $ e igualamos a zero.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
Igualando ambos a zero:
Então, temos um ponto crítico em $ (1, 0) $.
Passo 3
Agora, vamos verificar se esse ponto está dentro da restrição $ x^{2} + y^{2} \leq 16 $:
Sim, está dentro. Vamos calcular o valor da função nesse ponto:
Então, temos um candidato para mínimo interno: $ f = -7 $ em $ (1, 0) $.
Passo 4
Agora, vamos procurar extremos na fronteira da região, onde $ x^{2} + y^{2} = 16 $. Para isso, usamos os multiplicadores de Lagrange. Definimos:
onde $ g(x, y) = x^{2} + y^{2} - 16 $.
Calculando os gradientes:
Então, temos o sistema:
Vamos analisar duas possibilidades para $ y $:
-
Caso $ y \neq 0 $:
De $ 6y = 2\lambda y $, temos $ \lambda = 3 $.
Substituindo na primeira equação:
Então, substituindo $ x = -2 $ na restrição:
Então, temos dois pontos: $ (-2, 2\sqrt{3}) $ e $ (-2, -2\sqrt{3}) $. -
Caso $ y = 0 $:
De $ 6y = 0 $, não obtemos informação adicional. Voltando à primeira equação:
Usando a restrição $ x^{2} = 16 \Rightarrow x = \pm 4 $.
- Se $ x = 4 $:
- Se $ x = -4 $:
Então, temos mais dois pontos: $ (4, 0) $ e $ (-4, 0) $.
- Se $ x = -4 $:
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor da função $ f $ em cada um desses pontos da fronteira:
- Em $ (-2, 2\sqrt{3}) $:
- Em $ (-2, -2\sqrt{3}) $:
- Em $ (4, 0) $:
- Em $ (-4, 0) $:
Resposta
Os valores extremos da função são:
- Mínimo interno: $ f(1, 0) = -7 $
- Máximo na fronteira: $ f(-2, \pm 2\sqrt{3}) = 47 $
Portanto, o mínimo da função é -7 no ponto (1, 0) e o máximo é 47 nos pontos (-2, ±2√3).