(Uerj) Em uma confeitaria recém-inaugurada, o preço de custo de uma barra de chocolate é de \mathrm{R} \ 2,00$ e 0 preço de venda, de cada barra, é de x reais, sendo x um número inteiro. Estima-se que (20-x) barras serão vendidas por dia.
De acordo com essa estimativa, o lucro diário da venda dessas barras de chocolate, com o preço unitário de x reais, será igual a:
a) -x^{2}+18 x-32
b) -x^{2}-18 x+40
c) -x^{2}-22 x+32

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi fornecido):
  • O preço de custo de cada barra de chocolate é \,2{,}00 reais (isto é, custo unitário =2).
  • O preço de venda de cada barra é \;x reais, sendo \;x um número inteiro.
  • Estima-se que serão vendidas \,20-x barras por dia.
    O que o enunciado pede: determinar a expressão do lucro diário (função do preço unitário \;x) segundo essa estimativa.

Passo 2

Entendendo os conceitos básicos (passo didático):
  • Receita diária ( R) é o total recebido pelas vendas: é o preço de venda multiplicado pela quantidade vendida. Aqui o preço de venda por unidade é \;x e a quantidade vendida é \,20-x. Logo, a receita é
R = x(20-x).
Explicando as variáveis: \;x é o preço por barra; \,20-x é quantas barras são vendidas; o produto dá o total recebido em reais.

Passo 3

Custo total diário:
  • O custo por unidade é \;2 reais, e vendem-se \,20-x unidades. Então o custo total diário ( C) é
C = 2(20-x).
Isto significa que se vendem \,20-x barras, paga-se \;2 reais por cada uma, totalizando isso.

Passo 4

Definição de lucro e construção da expressão:
  • Lucro diário ( L) = Receita diária R menos Custo total diário C. Assim,
L = R - C = x(20-x) - 2(20-x).
Comentário: aqui estamos subtraindo do que se recebe o que se gastou para produzir/obter essas barras.

Passo 5

Fatorando para simplificar (estratégia: colocar o fator comum (20-x)):
L = \bigl(x - 2\bigr)\,(20 - x).
Explicando: x(20-x) - 2(20-x) = (20-x)(x-2) porque (20-x) é fator comum.

Passo 6

Expandindo passo a passo para obter um polinômio padrão:
Primeiro multiplica-se termo a termo:
(x-2)(20-x) = x\cdot20 + x\cdot(-x) + (-2)\cdot20 + (-2)\cdot(-x).
Calculando cada produto:
x\cdot20 = 20x,\qquad x\cdot(-x) = -x^2,\qquad (-2)\cdot20 = -40,\qquad (-2)\cdot(-x)=2x.
Somando tudo:
L = 20x - x^2 - 40 + 2x.

Passo 7

Somando os termos semelhantes para simplificar completamente:
L = -x^2 + (20x + 2x) - 40 = -x^2 + 22x - 40.
Portanto a expressão do lucro diário, em função de \;x, é -x^{2}+22x-40.

Passo 8

Comparando com as alternativas fornecidas:
  • a) -x^{2}+18x-32 — diferente (coeficiente de x e termo independente não coincidem).
  • b) -x^{2}-18x+40 — diferente.
  • c) -x^{2}-22x+32 — diferente.
    Conclui-se que nenhuma das alternativas a), b) ou c) corresponde à expressão correta encontrada.

Resposta

Nenhuma das alternativas. \;L(x) = -x^{2} + 22x - 40

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