(Uerj) Um surto de gripe em uma escola teve início com apenas um aluno. O número total y de alunos infectados pelo virus da gripe, até x horas depois do momento inicial da contaminação, é dado aproximadamente pela equação y=46-k \cdot 3^{-0,1 x}, em que 0 \leq x<20 é uma constante positiva. Observando que o surto teve início com y=1, calcule o valor de k e, também, em quantas horas, exatamente, 31 alunos foram contaminados.
48. k=45 : 10 h

Passo 1

O enunciado dá a função
y(x)=46 - k \cdot 3^{-0,1x}
onde y é o número de alunos infectados até x horas, e informa que no início ( x=0) havia y=1. Vamos primeiro determinar k usando essa condição inicial e depois achar x tal que y=31.

Passo 2

Em x=0, temos y(0)=1. Substituindo em
y(0)=46 - k\cdot 3^{0}=1
como 3^0=1, segue
46 - k =1 \quad\implies\quad k=46-1=45.

Passo 3

Agora queremos x tal que y=31. Partindo de
31 = 46 - 45\cdot 3^{-0,1x},
rearranjamos:
45\cdot 3^{-0,1x}=46-31=15 \quad\implies\quad 3^{-0,1x}=\frac{15}{45}=\frac13.
Como 3^{-0,1x}=3^{-1}, basta igualar expoentes:
-0,1x=-1 \quad\implies\quad x=\frac{-1}{-0,1}=10\text{ horas}.

Resposta

k=45
Leva 10 horas para que 31 alunos sejam contaminados.

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