As três equaçōes exponenciais a seguir podem ser resolvidas por meio de equaçōes do 2^{\circ} grau. Determine 0 conjunto-solução de cada uma dessas equações.
9^{x}-30 \cdot 3^{x}+81=0

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação exponencial
9^x - 30 \cdot 3^x + 81 = 0.
O conteúdo aqui é transformar uma equação exponencial em uma equação do 2º grau, lembrando que 9^x = (3^x)^2.

Passo 2

Fazendo a substituição
y = 3^x,
temos
9^x = (3^x)^2 = y^2,
logo a equação vira
y^2 - 30y + 81 = 0.

Passo 3

Para resolver
y^2 - 30y + 81 = 0
calculamos o discriminante
\Delta = (-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 81 = 900 - 324 = 576.
As raízes são
y = \frac{30 \pm \sqrt{576}}{2} = \frac{30 \pm 24}{2},
isto é,
y_1 = 27,\quad y_2 = 3.

Passo 4

Voltando à variável original, 3^x = y, obtemos duas equações:
3^x = 27 = 3^3 \quad\Longrightarrow\quad x = 3,
3^x = 3 = 3^1 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.

Resposta

\{1,3\}

Exercícios relacionados