. UESTÃO 60 - O estado de um elétron em um átomo de hidrogênio, na representaçăo posição \therefore=x \hat{x}+y \hat{y}+z \hat{z}, é descrito pela função de onda llormalizada a seguir:
onde a_{0} é o raio de Bohr, r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} e \alpha, \beta e \gamma são números reais que satisfazem a relação a^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=1. O estado \psi(\vec{r}) é uma superposição das autofunções \psi_{n l m}(r, \theta, \varphi) para o átomo de hidrogênio, sendo n, l e m os números quânticos principal, azimutal e magnético, respectivamente. A tabela abaixo apresenta as autofunções normalizadas do átomo de hidrogênio, em termos de coordenadas esféricas ( r, \theta, \varphi ) para os orbitais com n=2.
\psi_{n l m}(r, \theta, \varphi)=\mp \frac{1}{\sqrt{16 \pi a_{0}^{3}}}\left(\frac{r}{2 a_{0}}\right) e^{-r / 2 a_{0}} \operatorname{sen} \theta e^{ \pm i \varphi}
Seja \hbar=h / 2 \pi, onde h é a constante de Planck, assinale a alternativa correta que representa a probabilidade de uma medida de \hat{L}_{z} resultar +h.
A) P\left(L_{z}=+\hbar\right)=\frac{1}{2}\left(\alpha^{2}+\beta^{2}\right)
B) P\left(L_{z}=+\hbar\right)=\alpha^{2}+\beta^{2}
C) P\left(L_{z}=+\hbar\right)=\frac{1}{2}\left(\alpha^{2}-\beta^{2}\right)
D) P\left(L_{z}=+\hbar\right)=\alpha^{2}-\beta^{2}
E) P\left(L_{z}=+\hbar\right)=\gamma^{2}
com \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1, e pede a probabilidade de medir L_z=+\hbar.
O operador \hat L_z tem autofunções \psi_{2,1,m}(r,\theta,\varphi) com m=0,\pm1, e a probabilidade de obter +\hbar é
P(L_z=+\hbar)=\bigl|c_{+1}\bigr|^2,
onde c_{+1} é o coeficiente da expansão de \psi na autofunção \psi_{2,1,+1}.
Passo 2
Passamos para coordenadas esféricas \bigl(r,\theta,\varphi\bigr), onde
Comparando com a parte angular de \psi, vemos que o coeficiente diante de \sin\theta\,e^{i\varphi} é \tfrac{\alpha-i\beta}{2} vezes um mesmo fator comum a todas as componentes.
Esse fator comum normaliza o estado, mas para a probabilidade só importa
c_{+1}\propto\frac{\alpha-i\beta}{2}.
Passo 5
Como \psi_{2,1,m} são ortonormais, a probabilidade é