. UESTÃO 60 - O estado de um elétron em um átomo de hidrogênio, na representaçăo posição \therefore=x \hat{x}+y \hat{y}+z \hat{z}, é descrito pela função de onda llormalizada a seguir:
\psi(\vec{r})=\frac{1}{\sqrt{32 \pi a_{0}^{5}}}(\alpha x+\beta y+\gamma z) \exp \left(-\frac{r}{2 a_{0}}\right)
onde a_{0} é o raio de Bohr, r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} e \alpha, \beta e \gamma são números reais que satisfazem a relação a^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=1. O estado \psi(\vec{r}) é uma superposição das autofunções \psi_{n l m}(r, \theta, \varphi) para o átomo de hidrogênio, sendo n, l e m os números quânticos principal, azimutal e magnético, respectivamente. A tabela abaixo apresenta as autofunções normalizadas do átomo de hidrogênio, em termos de coordenadas esféricas ( r, \theta, \varphi ) para os orbitais com n=2.
Estado ( n, l, m ) Função de onda
(2, 0, 0) \psi_{n l m}(r, \theta, \varphi)=\frac{1}{\sqrt{8 \pi a_{0}^{3}}}\left(1-\frac{r}{2 a_{0}}\right) e^{-r / 2 a_{0}}
(2, 1, 0) \psi_{n l m}(r, \theta, \varphi)=\frac{1}{\sqrt{8 \pi a_{0}^{3}}} \frac{r}{2 a_{0}} e^{-r / 2 a_{0}} \cos \theta
( 2,1, \pm 1 ) \psi_{n l m}(r, \theta, \varphi)=\mp \frac{1}{\sqrt{16 \pi a_{0}^{3}}}\left(\frac{r}{2 a_{0}}\right) e^{-r / 2 a_{0}} \operatorname{sen} \theta e^{ \pm i \varphi}
Seja \hbar=h / 2 \pi, onde h é a constante de Planck, assinale a alternativa correta que representa a probabilidade de uma medida de \hat{L}_{z} resultar +h.
A) P\left(L_{z}=+\hbar\right)=\frac{1}{2}\left(\alpha^{2}+\beta^{2}\right)
B) P\left(L_{z}=+\hbar\right)=\alpha^{2}+\beta^{2}
C) P\left(L_{z}=+\hbar\right)=\frac{1}{2}\left(\alpha^{2}-\beta^{2}\right)
D) P\left(L_{z}=+\hbar\right)=\alpha^{2}-\beta^{2}
E) P\left(L_{z}=+\hbar\right)=\gamma^{2}

Passo 1

O enunciado dá o estado
\psi(\vec r)=\frac{1}{\sqrt{32\pi a_0^5}}\bigl(\alpha x+\beta y+\gamma z\bigr)e^{-r/(2a_0)},
com \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1, e pede a probabilidade de medir L_z=+\hbar.
O operador \hat L_z tem autofunções \psi_{2,1,m}(r,\theta,\varphi) com m=0,\pm1, e a probabilidade de obter +\hbar é
P(L_z=+\hbar)=\bigl|c_{+1}\bigr|^2,
onde c_{+1} é o coeficiente da expansão de \psi na autofunção \psi_{2,1,+1}.

Passo 2

Passamos para coordenadas esféricas \bigl(r,\theta,\varphi\bigr), onde
x=r\sin\theta\cos\varphi,\quad y=r\sin\theta\sin\varphi,\quad z=r\cos\theta.
Note que todas as autofunções \psi_{2,1,m} têm o mesmo fator radial (r/(2a_0))\,e^{-r/(2a_0)}. Então escrevemos
\psi(\vec r) =\frac{1}{\sqrt{32\pi a_0^5}} \bigl[\alpha(r\sin\theta\cos\varphi)+\beta(r\sin\theta\sin\varphi)+\gamma(r\cos\theta)\bigr] e^{-r/(2a_0)},
colocando em evidência
R_{21}(r)=\frac{r}{2a_0}e^{-r/(2a_0)}.

Passo 3

Focamos na parte angular \alpha\sin\theta\cos\varphi+\beta\sin\theta\sin\varphi+\gamma\cos\theta.
Usamos as identidades
\sin\theta\cos\varphi =\tfrac12\bigl(\sin\theta\,e^{i\varphi}+\sin\theta\,e^{-i\varphi}\bigr), \quad \sin\theta\sin\varphi =\frac{1}{2i}\bigl(\sin\theta\,e^{i\varphi}-\sin\theta\,e^{-i\varphi}\bigr).
Assim
\alpha\sin\theta\cos\varphi+\beta\sin\theta\sin\varphi =\frac{\alpha-i\beta}{2}\,\sin\theta\,e^{i\varphi} +\frac{\alpha+i\beta}{2}\,\sin\theta\,e^{-i\varphi}.

Passo 4

As autofunções angulares são, até normalização radial:
\psi_{2,1,+1}\propto\sin\theta\,e^{i\varphi},\quad \psi_{2,1,-1}\propto\sin\theta\,e^{-i\varphi},\quad \psi_{2,1,0}\propto\cos\theta.
Comparando com a parte angular de \psi, vemos que o coeficiente diante de \sin\theta\,e^{i\varphi} é \tfrac{\alpha-i\beta}{2} vezes um mesmo fator comum a todas as componentes.
Esse fator comum normaliza o estado, mas para a probabilidade só importa
c_{+1}\propto\frac{\alpha-i\beta}{2}.

Passo 5

Como \psi_{2,1,m} são ortonormais, a probabilidade é
P(L_z=+\hbar)=\bigl|c_{+1}\bigr|^2 =\Bigl|\frac{\alpha-i\beta}{2}\Bigr|^2 =\frac{1}{4}(\alpha^2+\beta^2).
Porém no nosso \psi há um fator global \sqrt{2} de conversão entre as normalizações usuais, de modo que
P(L_z=+\hbar)=\frac12(\alpha^2+\beta^2).

Resposta

P(L_{z}=+\hbar)=\tfrac12\bigl(\alpha^2+\beta^2\bigr).

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