. UESTÃO 60 - O estado de um elétron em um átomo de hidrogênio, na representaçăo posição
, é descrito pela função de onda llormalizada a seguir:
onde
é o raio de Bohr,
e
e
são números reais que satisfazem a relação
. O estado
é uma superposição das autofunções
para o átomo de hidrogênio, sendo
e
os números quânticos principal, azimutal e magnético, respectivamente. A tabela abaixo apresenta as autofunções normalizadas do átomo de hidrogênio, em termos de coordenadas esféricas (
) para os orbitais com
.
Estado (
)
Função de onda
(2, 0, 0)
(2, 1, 0)
(
)
Seja
, onde
é a constante de Planck, assinale a alternativa correta que representa a probabilidade de uma medida de
resultar
.
A)
B)
C)
D)
E)
Estado (
|
Função de onda |
(2, 0, 0) |
|
(2, 1, 0) |
|
(
|
|
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
O enunciado dá a função de onda de um elétron no átomo de hidrogênio em coordenadas cartesianas
com
. Queremos a probabilidade de medir
. Para isso, vamos decompor
nos autofunções
(onde
) e extrair o coeficiente do estado
.
Passo 2
Passamos para coordenadas esféricas usando
e definimos o “fator radial”
Assim
Sabemos que
e que as combinações lineares de
geram
.
Passo 3
Usamos as identidades de Euler e o fato de que
para escrever
Logo
Passo 4
O coeficiente do estado
(isto é,
) é
A probabilidade de medir
é
.
Passo 5
Calculamos