. UESTÃO 60 - O estado de um elétron em um átomo de hidrogênio, na representaçăo posição \therefore=x \hat{x}+y \hat{y}+z \hat{z}, é descrito pela função de onda llormalizada a seguir:
\psi(\vec{r})=\frac{1}{\sqrt{32 \pi a_{0}^{5}}}(\alpha x+\beta y+\gamma z) \exp \left(-\frac{r}{2 a_{0}}\right)
onde a_{0} é o raio de Bohr, r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} e \alpha, \beta e \gamma são números reais que satisfazem a relação a^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=1. O estado \psi(\vec{r}) é uma superposição das autofunções \psi_{n l m}(r, \theta, \varphi) para o átomo de hidrogênio, sendo n, l e m os números quânticos principal, azimutal e magnético, respectivamente. A tabela abaixo apresenta as autofunções normalizadas do átomo de hidrogênio, em termos de coordenadas esféricas ( r, \theta, \varphi ) para os orbitais com n=2.
Estado ( n, l, m ) Função de onda
(2, 0, 0) \psi_{n l m}(r, \theta, \varphi)=\frac{1}{\sqrt{8 \pi a_{0}^{3}}}\left(1-\frac{r}{2 a_{0}}\right) e^{-r / 2 a_{0}}
(2, 1, 0) \psi_{n l m}(r, \theta, \varphi)=\frac{1}{\sqrt{8 \pi a_{0}^{3}}} \frac{r}{2 a_{0}} e^{-r / 2 a_{0}} \cos \theta
( 2,1, \pm 1 ) \psi_{n l m}(r, \theta, \varphi)=\mp \frac{1}{\sqrt{16 \pi a_{0}^{3}}}\left(\frac{r}{2 a_{0}}\right) e^{-r / 2 a_{0}} \operatorname{sen} \theta e^{ \pm i \varphi}
Seja \hbar=h / 2 \pi, onde h é a constante de Planck, assinale a alternativa correta que representa a probabilidade de uma medida de \hat{L}_{z} resultar +h.
A) P\left(L_{z}=+\hbar\right)=\frac{1}{2}\left(\alpha^{2}+\beta^{2}\right)
B) P\left(L_{z}=+\hbar\right)=\alpha^{2}+\beta^{2}
C) P\left(L_{z}=+\hbar\right)=\frac{1}{2}\left(\alpha^{2}-\beta^{2}\right)
D) P\left(L_{z}=+\hbar\right)=\alpha^{2}-\beta^{2}
E) P\left(L_{z}=+\hbar\right)=\gamma^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função de onda de um elétron no átomo de hidrogênio em coordenadas cartesianas
\psi(\vec r)=\frac{1}{\sqrt{32\pi a_0^5}}\bigl(\alpha x+\beta y+\gamma z\bigr)e^{-r/(2a_0)},
com \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1. Queremos a probabilidade de medir \hat L_z=+\hbar. Para isso, vamos decompor \psi nos autofunções \psi_{2,1,m} (onde m=0,\pm1) e extrair o coeficiente do estado m=+1.

Passo 2

Passamos para coordenadas esféricas usando
x=r\sin\theta\cos\varphi,\quad y=r\sin\theta\sin\varphi,\quad z=r\cos\theta,
e definimos o “fator radial”
f(r)=\frac{1}{\sqrt{32\pi a_0^5}}\,r\,e^{-r/(2a_0)}.
Assim
\psi=f(r)\bigl[\alpha\sin\theta\cos\varphi+\beta\sin\theta\sin\varphi+\gamma\cos\theta\bigr].
Sabemos que
\psi_{2,1,0}(r,\theta,\varphi)=f(r)\cos\theta
e que as combinações lineares de f(r)\sin\theta e^{\pm i\varphi} geram \psi_{2,1,\pm1}.

Passo 3

Usamos as identidades de Euler e o fato de que
\psi_{2,1,\pm1}(r,\theta,\varphi) =\mp\frac{1}{\sqrt{16\pi a_0^3}}\frac{r}{2a_0}e^{-r/(2a_0)}\sin\theta\,e^{\pm i\varphi}
para escrever
f(r)\sin\theta\cos\varphi =\frac{\sqrt2}{2}\bigl[-\psi_{2,1,1}+\psi_{2,1,-1}\bigr], \quad f(r)\sin\theta\sin\varphi =\frac{\sqrt2}{2}\,i\,\bigl[\psi_{2,1,1}+\psi_{2,1,-1}\bigr].
Logo
\psi =\gamma\,\psi_{2,1,0} +\frac{\sqrt2}{2}\bigl(-\alpha+i\beta\bigr)\psi_{2,1,1} +\frac{\sqrt2}{2}\bigl(\alpha+i\beta\bigr)\psi_{2,1,-1}.

Passo 4

O coeficiente do estado \psi_{2,1,1} (isto é, m=+1) é
C_{+1}=\frac{\sqrt2}{2}\bigl(-\alpha+i\beta\bigr).
A probabilidade de medir L_z=+\hbar é \lvert C_{+1}\rvert^2.

Passo 5

Calculamos
P\bigl(L_z=+\hbar\bigr) =\bigl\lvert C_{+1}\bigr\rvert^2 =\frac12\bigl[(-\alpha)^2+(\beta)^2\bigr] =\frac12\bigl(\alpha^2+\beta^2\bigr).

Resposta

P\bigl(L_z=+\hbar\bigr)=\tfrac12\bigl(\alpha^2+\beta^2\bigr) (alternativa A).

Exercícios relacionados