QUESTĀŌ56- Scja R um referencial inerdal e R^{\prime} um referencial inercial que se move em relação a R, com veloddade constante \vec{v}=\beta c \hat{x}, na qual c è a velocidade da luz no vácuo e |\beta|<1 é um parámetro adimensional. Os eixos x ; y^{\prime} e z de R são paralelos aos eixos x^{\prime}, y^{\prime} e z^{\prime} de R^{\prime}, e as coordenadas espaço-tempo estão relacionadas entre si através da transformação de Lorentz. Sabe-se também que as origens O e O^{\prime} dos referenclais R e R^{\prime} são coincidentes nos instantes t=t^{\prime}=0. Considere as funções de onda \Psi_{ \pm}(x, t)=\Psi_{0} \exp \left[i k \phi_{ \pm}(x, t)\right], onde k é o vetor de onda e os comprimentos \phi_{ \pm}são \phi_{+}(x, t)=x+c t e \phi_{-}(x, t)=x-c t. É correto afirmar que no referencial R^{\prime} as grandezas \phi_{+}^{\prime} e \phi_{-}^{\prime} estāo relacionadas através da seguinte forma, respectivamente:
A) \phi_{+}^{\prime}=\phi_{+}(1+\beta) e \phi_{-}^{\prime}=\phi_{-}(1-\beta)
B) \phi_{+}^{\prime}=\phi_{+}(1-\beta) e \phi_{-}^{\prime}=\phi_{-}(1+\beta)
C) \phi_{+}^{\prime}=\phi_{+} \sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}} e \phi_{-}^{\prime}=\phi_{-} \sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}
D) \phi_{+}^{\prime}=\phi_{+} \sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}} e \phi_{-}^{\prime}=\phi_{-} \sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}
E) \phi_{+}^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\left(\phi_{+}-\beta \phi_{-}\right)e \phi_{-}^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\left(\phi_{-}+\beta \phi_{+}\right)

Passo 1

O enunciado dá duas funções de onda unidimensionais \Psi_{\pm}(x,t)=\Psi_{0}\exp\bigl[i\,k\,\phi_{\pm}(x,t)\bigr]
com \phi_{+}(x,t)=x+c\,t e \phi_{-}(x,t)=x-c\,t,
e pede como essas fases se transformam num referencial R' que se move em velocidade constante \vec v=\beta\,c\,\hat x relativo a R. Vamos usar a transformação de Lorentz para coordenadas em x e t.

Passo 2

Sob um boost ao longo de x, as coordenadas transformam-se como
x'=\gamma\bigl(x-\beta\,c\,t\bigr),
t'=\gamma\Bigl(t-\frac{\beta\,x}{c}\Bigr),
onde \gamma=1/\sqrt{1-\beta^{2}}.

Passo 3

Para obter \phi_{+}' no novo referencial, calculamos
\phi_{+}'=x'+c\,t'.

Passo 4

Substituindo as expressões de x' e t' em \phi_{+}':
\phi_{+}' = \gamma\bigl(x-\beta c t\bigr) + c\,\gamma\Bigl(t-\frac{\beta x}{c}\Bigr) = \gamma\bigl[x-\beta c t + c t - \beta x\bigr] = \gamma\,(1-\beta)\,(x+c\,t) = \gamma\,(1-\beta)\,\phi_{+}.

Passo 5

Usando \gamma=1/\sqrt{1-\beta^{2}} temos
\gamma\,(1-\beta) = \frac{1-\beta}{\sqrt{1-\beta^{2}}} = \sqrt{\frac{(1-\beta)^{2}}{1-\beta^{2}}} = \sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}.
Logo
\phi_{+}' = \phi_{+}\,\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}.

Passo 6

De modo análogo, para \phi_{-}'=x'-c\,t' obtemos
\phi_{-}' = \gamma\,(1+\beta)\,(x-c\,t) = \gamma\,(1+\beta)\,\phi_{-} = \phi_{-}\,\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}.

Passo 7

Comparando com as alternativas, reconhecemos exatamente a opção em que
\phi_{+}'=\phi_{+}\,\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}} \quad\text{e}\quad \phi_{-}'=\phi_{-}\,\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}.

Resposta

C

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