f(x)=\ln \left(x^{5}+x\right)-\frac{2}{\pi \operatorname{sen}\left(\frac{\pi x}{2}\right)} Calcular f^{\prime \prime}(1) Passo 1O enunciado dá f(x)=\ln\bigl(x^{5}+x\bigr)\;-\;\frac{2}{\pi\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2}\bigr)} e pede f''(1). Vamos usar: – derivada de \ln(u) pela regra da cadeia; – derivada de 1/\sin(u) reconhecendo cosseno, cotangente e cosecante; – regra do quociente para a primeira fração; – depois avaliamos em x=1. Passo 2Calculamos f'(x). Para a primeira parte, se u(x)=x^{5}+x, então \frac{d}{dx}\ln\bigl(u(x)\bigr)=\frac{u'(x)}{u(x)} =\frac{5x^{4}+1}{x^{5}+x}\,. A segunda parte é -\,\frac{2}{\pi}\,\csc\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2}\bigr). Como \tfrac{d}{dx}\csc(u)=-\csc(u)\cot(u)\,u', com u=\tfrac{\pi x}{2} e u'=\tfrac{\pi}{2}, temos \frac{d}{dx}\Bigl[-\tfrac{2}{\pi}\,\csc(u)\Bigr] =-\tfrac{2}{\pi}\Bigl[-\csc(u)\cot(u)\,\tfrac{\pi}{2}\Bigr] =\csc\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2}\bigr)\,\cot\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2}\bigr). Logo, f'(x) =\frac{5x^{4}+1}{x^{5}+x} \;+\;\csc\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2}\bigr)\,\cot\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2}\bigr). Passo 3Agora f''(x) é a soma das derivadas de cada parcela. Para \displaystyle A(x)=\frac{5x^{4}+1}{x^{5}+x}, use regra do quociente com \!A'(x)=\frac{(20x^{3})(x^{5}+x)-(5x^{4}+1)(5x^{4}+1)}{(x^{5}+x)^{2}}. Para \displaystyle B(x)=\csc(u)\cot(u) com u=\tfrac{\pi x}{2}, escrevemos B'(x)=-u'\,\csc(u)\bigl[\cot^{2}(u)+\csc^{2}(u)\bigr] =-\tfrac{\pi}{2}\,\csc\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2}\bigr)\Bigl[\cot^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2}\bigr)+\csc^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2}\bigr)\Bigr]. Portanto f''(x) =\frac{20x^{3}(x^{5}+x)-(5x^{4}+1)^{2}}{(x^{5}+x)^{2}} \;-\;\frac{\pi}{2}\,\csc\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2}\bigr)\Bigl[\cot^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2}\bigr)+\csc^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2}\bigr)\Bigr]. Passo 4Avaliaremos em x=1. Note que \sin(\tfrac{\pi}{2})=1, \csc(\tfrac{\pi}{2})=1, \cot(\tfrac{\pi}{2})=0. Na parte racional: 20\cdot1^{3}(1^{5}+1)-(5\cdot1^{4}+1)^{2} =20\cdot2-6^{2}=40-36=4, \quad (x^{5}+x)^{2}\big|_{x=1}=(1+1)^{2}=4, logo esse termo vale \tfrac{4}{4}=1. 2. Na parte trigonométrica: -\frac{\pi}{2}\cdot1\bigl[0^{2}+1^{2}\bigr] =-\frac{\pi}{2}. Somando, obtemos f''(1)=1-\frac{\pi}{2}. Resposta f''(1)=1-\frac{\pi}{2}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosUma placa fina move-se entre duas placas planas horizontais estacionárias com uma velocidade constante de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. As duas placas estacionárias estão separadas por uma distância de 4 cm , e o espaço entre elas está cheio de óleo com viscosidades de 0,9 \mathrm{~N} . \mathrm{s}^{2} \mathrm{~m}^{2}. A placa fina tem um comprimento de 2 m e uma largura de 0,5 \mathrm{~m}. Se ela se move no plano médio em relação às duas placas estacionárias ( \mathrm{h}_{1}=\mathrm{h}_{2}=2 \mathrm{~cm} ). a) (1,25 Pontos) Qual é a força requerida para manter o movimento? b) (1,25 Pontos) Qual seria essa força se \mathrm{h}_{2}=1 \mathrm{~cm} \mathrm{e} \mathrm{h}_{1}=3 \mathrm{~cm} ? (UF-PI) Considere as seguintes afirmativas sobre a medição de ângulos. I. As bissetrizes de um ângulo e do seu suplemento são perpendiculares. II. O suplemento de um ângulo agudo é sempre obtuso. III. Se um ângulo e seu suplemento têm a mesma medida, então esse ângulo é reto. a) Apenas I e II são verdadeiras. b) Apenas I e III são verdadeiras. c) Apenas II e III são verdadeiras. d) As três afirmativas são verdadeiras. e) Nenhuma das afirmativas é verdadeira. f(x)=\sqrt{\exp (2 x)+1} \rightarrow Calcular f^{\prime}(0) f(x)=\frac{\cos (3 \pi x)}{\sqrt{x-1}} \rightarrow Calcular f^{\prime}(2)