(UFAM-2008) Se na divisão do polinômio p(x)=3 x^{3}+7 x-8 pelo polinômio q(x) obtém-se um quociente 3 x e um resto r(x) que é divisível por x-2, então r(x) vale:
a) 5(x-2)
b) x-2
c) 3(x-2)
d) 4(x-2)
e) 2(x-2)

Passo 1

O enunciado dá o polinômio p(x)=3x^{3}+7x-8. Ao dividir p(x) pelo polinômio q(x) obtém-se quociente 3x e resto r(x) que é divisível por x-2. A pergunta é: qual é o polinômio r(x)?
Informações relevantes dadas:
  • p(x)=3x^{3}+7x-8.
  • Quociente da divisão de p(x) por q(x) é 3x.
  • O resto r(x) é divisível por x-2, ou seja, existe constante k tal que r(x)=k(x-2).
  • Pela divisão de polinômios vale a relação p(x)=q(x)\cdot(\text{quociente}) + r(x).

Passo 2

Lembrete da teoria (muito útil aqui): divisão de polinômios — se um polinômio p(x) tem grau n e ao dividi-lo por q(x) obtemos quociente de grau m, então \deg q = n-m. Aqui \deg p = 3 e o quociente 3x tem grau 1. Logo
\deg q = 3-1 = 2.
Portanto q(x) é um polinômio quadrático e o resto r(x) tem grau estritamente menor que 2, ou seja, r(x) é, no máximo, um polinômio linear. Como o enunciado diz que r(x) é divisível por x-2, podemos escrever
r(x)=k(x-2)
para alguma constante k\in\mathbb{R}.

Passo 3

Vamos escrever q(x) em forma geral e usar a relação da divisão. Seja
q(x)=ax^{2}+bx+c,
com a,b,c constantes. Pelo algoritmo da divisão,
p(x)=q(x)\cdot(3x)+r(x).
Substituindo q(x) e r(x)=k(x-2),
3x^{3}+7x-8 = (ax^{2}+bx+c)\cdot(3x) + k(x-2).

Passo 4

Expandindo o produto e escrevendo os termos pelo grau:
(ax^{2}+bx+c)\cdot(3x) = 3a x^{3} + 3b x^{2} + 3c x.
Então a igualdade fica
3x^{3}+0x^{2}+7x-8 = 3a x^{3} + 3b x^{2} + 3c x + kx - 2k.

Passo 5

Agora igualamos coeficientes de termos de mesmo grau (método de comparação de coeficientes). Coeficientes de x^{3}:
3 = 3a \quad\Rightarrow\quad a=1.
Coeficientes de x^{2}:
0 = 3b \quad\Rightarrow\quad b=0.
Coeficientes de x:
7 = 3c + k.
Termos constantes:
-8 = -2k \quad\Rightarrow\quad k=4.

Passo 6

Com k=4 podemos completar a verificação e, se quiser, obter c:
Da igualdade para o coeficiente de x,
7 = 3c + k = 3c + 4 \quad\Rightarrow\quad 3c = 3 \quad\Rightarrow\quad c=1.
Tudo consistente com a=1,b=0,c=1 e k=4.

Passo 7

Concluímos que o resto é
r(x)=k(x-2)=4(x-2).
Boa! A conta ficou certinha — se bater dúvida rápida, pode sempre checar substituindo estes a,b,c e k na relação da divisão.

Resposta

\,4(x-2)

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