(UFAM-2008) Se na divisão do polinômio
pelo polinômio
obtém-se um quociente
e um resto
que é divisível por
, então
vale:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
. Ao dividir
pelo polinômio
obtém-se quociente
e resto
que é divisível por
. A pergunta é: qual é o polinômio
?
Informações relevantes dadas:
-
. - Quociente da divisão de
por é . - O resto
é divisível por , ou seja, existe constante tal que . - Pela divisão de polinômios vale a relação
.
Passo 2
Lembrete da teoria (muito útil aqui): divisão de polinômios — se um polinômio
tem grau
e ao dividi-lo por
obtemos quociente de grau
, então
. Aqui
e o quociente
tem grau
. Logo
Portanto
é um polinômio quadrático e o resto
tem grau estritamente menor que
, ou seja,
é, no máximo, um polinômio linear. Como o enunciado diz que
é divisível por
, podemos escrever
para alguma constante
.
Passo 3
Vamos escrever
em forma geral e usar a relação da divisão. Seja
com
constantes. Pelo algoritmo da divisão,
Substituindo
e
,
Passo 4
Expandindo o produto e escrevendo os termos pelo grau:
Então a igualdade fica
Passo 5
Agora igualamos coeficientes de termos de mesmo grau (método de comparação de coeficientes). Coeficientes de
:
Coeficientes de
:
Coeficientes de
:
Termos constantes:
Passo 6
Com
podemos completar a verificação e, se quiser, obter
:
Da igualdade para o coeficiente de ,
Da igualdade para o coeficiente de
Tudo consistente com
e
.
Passo 7
Concluímos que o resto é
Boa! A conta ficou certinha — se bater dúvida rápida, pode sempre checar substituindo estes
e
na relação da divisão.