Mostre que os operadores divergente e rotacional são lineares, ou seja, dados
e constante
segue-se que:
Passo 1
O enunciado dá:
- Vetores
. - Constante escalar
.
O que se pede: - Mostrar que o operador divergente é linear, isto é
- Mostrar que o operador rotacional (curl) é linear, isto é
Essas são as igualdades que vamos provar passo a passo.
Passo 2
Escrever os vetores por componentes e recordar as definições dos operadores (isto é só fixar notação antes de provar).
- Escrevemos
onde cada
e
é função de
.
- A divergente de um campo vetorial
é definida por
- O rotacional (curl) de
é
Passo 3
Lembrete-pessoal didático sobre por que a derivada parcial é linear (a peça-chave da prova).
- A derivada (e portanto a derivada parcial) satisfaz duas propriedades básicas de linearidade:
-
-
para constante .
-
- Por que isso vale? Pela definição de derivada como limite:
Aplicando essa definição a
dá soma de limites (limite de soma = soma dos limites), e aplicando a
retira o
fora do limite (constante multiplicativa). O mesmo raciocínio vale para derivadas em
e
. Portanto as propriedades de linearidade das derivadas parciais são justificadas diretamente pela definição de limite.
Passo 4
Prova detalhada da linearidade da divergente, usando as componentes e a linearidade das derivadas parciais.
- Primeiro escrevemos o campo
por componentes:
- Agora aplicamos a definição de divergente:
- Usando a linearidade das derivadas parciais (Passo 3) em cada termo:
e análogamente para as derivadas em
e
. Portanto
- Reconhecendo as divergentes dos campos
e :
Isso conclui a prova para a divergente, com cada etapa feita componente a componente para que dê para escrever na prova sem pular nada.
Passo 5
Prova detalhada da linearidade do rotacional (curl), novamente componente a componente.
- Começamos com as componentes do campo
já escritas no Passo 4. - Aplicamos a fórmula do rotacional ([curl-def]):
- Em cada uma dessas diferenças de derivadas aplicamos a linearidade das derivadas parciais (Passo 3). Por exemplo, na primeira componente:
Agrupando os termos com fator
e os termos sem:
- Fazendo o mesmo para as outras duas componentes obtemos
- Reconhecendo os vetores entre parênteses como
e , conclui-se que
Passo 6
Comentário de reforço (como lembrar isso na prova):
- A ideia essencial: tanto a divergente quanto o rotacional são construídos a partir de derivadas parciais somadas ou subtraídas; como derivadas parciais são lineares, os operadores resultantes também são lineares.
- Na prova, basta escrever componentes, aplicar linearidade das derivadas e reagrupar termos com o fator escalar.