Mostre que os operadores divergente e rotacional são lineares, ou seja, dados vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^{3} e constante a \in \mathbb{R} segue-se que:
\nabla \cdot(a \vec{u}+\vec{v})=a \nabla \cdot \vec{u}+\nabla \cdot \vec{v}

Passo 1

O enunciado dá:
  • Vetores \vec{u},\vec{v}\in\mathbb{R}^3.
  • Constante escalar a\in\mathbb{R}.
    O que se pede:
  • Mostrar que o operador divergente é linear, isto é
\nabla\cdot\bigl(a\vec{u}+\vec{v}\bigr)=a\,\nabla\cdot\vec{u}+\nabla\cdot\vec{v}.
  • Mostrar que o operador rotacional (curl) é linear, isto é
\nabla\times\bigl(a\vec{u}+\vec{v}\bigr)=a\,\nabla\times\vec{u}+\nabla\times\vec{v}.
Essas são as igualdades que vamos provar passo a passo.

Passo 2

Escrever os vetores por componentes e recordar as definições dos operadores (isto é só fixar notação antes de provar).
  • Escrevemos
\vec{u}=(u_1,u_2,u_3),\qquad \vec{v}=(v_1,v_2,v_3),
onde cada u_i e v_i é função de (x,y,z).
  • A divergente de um campo vetorial \vec{F}=(F_1,F_2,F_3) é definida por
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.
  • O rotacional (curl) de \vec{F} é
\label{curl-def} \nabla\times\vec{F}=\Bigl(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\; \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\; \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\Bigr).

Passo 3

Lembrete-pessoal didático sobre por que a derivada parcial é linear (a peça-chave da prova).
  • A derivada (e portanto a derivada parcial) satisfaz duas propriedades básicas de linearidade:
    1. \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(f+g)=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial x}.
    2. \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(c\,f)=c\,\frac{\partial f}{\partial x} para constante c.
  • Por que isso vale? Pela definição de derivada como limite:
\frac{\partial}{\partial x}f(x,y,z)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}.
Aplicando essa definição a f+g dá soma de limites (limite de soma = soma dos limites), e aplicando a c f retira o c fora do limite (constante multiplicativa). O mesmo raciocínio vale para derivadas em y e z. Portanto as propriedades de linearidade das derivadas parciais são justificadas diretamente pela definição de limite.

Passo 4

Prova detalhada da linearidade da divergente, usando as componentes e a linearidade das derivadas parciais.
  • Primeiro escrevemos o campo a\vec{u}+\vec{v} por componentes:
a\vec{u}+\vec{v}=\bigl(a u_1+v_1,\;a u_2+v_2,\;a u_3+v_3\bigr).
  • Agora aplicamos a definição de divergente:
\nabla\cdot\bigl(a\vec{u}+\vec{v}\bigr) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(a u_1+v_1\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(a u_2+v_2\bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\bigl(a u_3+v_3\bigr).
  • Usando a linearidade das derivadas parciais (Passo 3) em cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(a u_1+v_1\bigr) = a\,\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial v_1}{\partial x},
e análogamente para as derivadas em y e z. Portanto
\nabla\cdot\bigl(a\vec{u}+\vec{v}\bigr) = a\Bigl(\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial u_2}{\partial y}+\frac{\partial u_3}{\partial z}\Bigr) +\Bigl(\frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}+\frac{\partial v_3}{\partial z}\Bigr).
  • Reconhecendo as divergentes dos campos \vec{u} e \vec{v}:
\nabla\cdot\bigl(a\vec{u}+\vec{v}\bigr)=a\,\nabla\cdot\vec{u}+\nabla\cdot\vec{v}.
Isso conclui a prova para a divergente, com cada etapa feita componente a componente para que dê para escrever na prova sem pular nada.

Passo 5

Prova detalhada da linearidade do rotacional (curl), novamente componente a componente.
  • Começamos com as componentes do campo a\vec{u}+\vec{v} já escritas no Passo 4.
  • Aplicamos a fórmula do rotacional ([curl-def]):
\nabla\times\bigl(a\vec{u}+\vec{v}\bigr)=\Bigl( \frac{\partial}{\partial y}\bigl(a u_3+v_3\bigr)-\frac{\partial}{\partial z}\bigl(a u_2+v_2\bigr),\; \frac{\partial}{\partial z}\bigl(a u_1+v_1\bigr)-\frac{\partial}{\partial x}\bigl(a u_3+v_3\bigr),\; \frac{\partial}{\partial x}\bigl(a u_2+v_2\bigr)-\frac{\partial}{\partial y}\bigl(a u_1+v_1\bigr) \Bigr).
  • Em cada uma dessas diferenças de derivadas aplicamos a linearidade das derivadas parciais (Passo 3). Por exemplo, na primeira componente:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(a u_3+v_3\bigr)-\frac{\partial}{\partial z}\bigl(a u_2+v_2\bigr) = a\frac{\partial u_3}{\partial y}+\frac{\partial v_3}{\partial y} - \Bigl(a\frac{\partial u_2}{\partial z}+\frac{\partial v_2}{\partial z}\Bigr).
Agrupando os termos com fator a e os termos sem:
= a\Bigl(\frac{\partial u_3}{\partial y}-\frac{\partial u_2}{\partial z}\Bigr) +\Bigl(\frac{\partial v_3}{\partial y}-\frac{\partial v_2}{\partial z}\Bigr).
  • Fazendo o mesmo para as outras duas componentes obtemos
\nabla\times\bigl(a\vec{u}+\vec{v}\bigr) = a\,\Bigl(\frac{\partial u_3}{\partial y}-\frac{\partial u_2}{\partial z},\; \frac{\partial u_1}{\partial z}-\frac{\partial u_3}{\partial x},\; \frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y}\Bigr) +\Bigl(\frac{\partial v_3}{\partial y}-\frac{\partial v_2}{\partial z},\; \frac{\partial v_1}{\partial z}-\frac{\partial v_3}{\partial x},\; \frac{\partial v_2}{\partial x}-\frac{\partial v_1}{\partial y}\Bigr).
  • Reconhecendo os vetores entre parênteses como \nabla\times\vec{u} e \nabla\times\vec{v}, conclui-se que
\nabla\times\bigl(a\vec{u}+\vec{v}\bigr)=a\,\nabla\times\vec{u}+\nabla\times\vec{v}.

Passo 6

Comentário de reforço (como lembrar isso na prova):
  • A ideia essencial: tanto a divergente quanto o rotacional são construídos a partir de derivadas parciais somadas ou subtraídas; como derivadas parciais são lineares, os operadores resultantes também são lineares.
  • Na prova, basta escrever componentes, aplicar linearidade das derivadas e reagrupar termos com o fator escalar.

Resposta

\nabla\cdot\bigl(a\vec{u}+\vec{v}\bigr)=a\,\nabla\cdot\vec{u}+\nabla\cdot\vec{v}
\nabla\times\bigl(a\vec{u}+\vec{v}\bigr)=a\,\nabla\times\vec{u}+\nabla\times\vec{v}

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