(Ufes 2000) Quatro pequenas cidades A, B, C e D estão situadas em uma planície. A cidade D dista igualmente 50 km das cidades
e C . Se a cidade C dista 100 km da cidade A e 50 km da cidade B, qual dos valores abaixo melhor representa a distância da cidade
à cidade
?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado diz que temos quatro cidades A, B, C e D num plano. A cidade D está a distância 50 km de A, B e C, ou seja, D é o centro do círculo circunscrito ao triângulo ABC com raio 50. Além disso, C dista 100 km de A e 50 km de B. Precisamos achar a distância AB. O conteúdo envolve geometria de circuncírculo e teorema de Thales.
Passo 2
Como D está a 50 km de A, B e C, o circuncírculo de ABC tem raio
. Observamos que a medida
coincide com o diâmetro do circuncírculo, pois
. Pelo teorema de Thales, o ângulo em B é reto, logo o triângulo ABC é retângulo em B.
Passo 3
Num triângulo retângulo em B vale o teorema de Pitágoras:
Substituindo
e
temos
logo
Passo 4
Entre as opções dadas, a mais próxima de
km é a letra (a).
Resposta
(a)
km