(Ufes 2000) Quatro pequenas cidades A, B, C e D estão situadas em uma planície. A cidade D dista igualmente 50 km das cidades \mathrm{A}, \mathrm{B} e C . Se a cidade C dista 100 km da cidade A e 50 km da cidade B, qual dos valores abaixo melhor representa a distância da cidade A à cidade B ?
a) 86,6 \mathrm{~km}
b) 88,2 \mathrm{~km}
c) 89,0 \mathrm{~km}
d) 92,2 \mathrm{~km}
e) 100,0 \mathrm{~km}

Passo 1

O enunciado diz que temos quatro cidades A, B, C e D num plano. A cidade D está a distância 50 km de A, B e C, ou seja, D é o centro do círculo circunscrito ao triângulo ABC com raio 50. Além disso, C dista 100 km de A e 50 km de B. Precisamos achar a distância AB. O conteúdo envolve geometria de circuncírculo e teorema de Thales.

Passo 2

Como D está a 50 km de A, B e C, o circuncírculo de ABC tem raio R=50. Observamos que a medida AC=100 coincide com o diâmetro do circuncírculo, pois 2R=100. Pelo teorema de Thales, o ângulo em B é reto, logo o triângulo ABC é retângulo em B.

Passo 3

Num triângulo retângulo em B vale o teorema de Pitágoras:
AB^2 + BC^2 = AC^2.
Substituindo BC=50 e AC=100 temos
AB^2 = 100^2 - 50^2 = 10000 - 2500 = 7500,
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AB = \sqrt{7500} = 50\sqrt{3} \approx 86{,}6.

Passo 4

Entre as opções dadas, a mais próxima de 86{,}6 km é a letra (a).

Resposta

(a) 86{,}6 km

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