(Unicamp 99) Cada aresta de um tetraedro regular mede 6 cm . Para este tetraedro, calcule:
a) a distância entre duas arestas opostas, isto é, entre duas arestas que não têm ponto comum;
b) o raio da esfera inscrita no tetraedro.

Passo 1

O enunciado dá um tetraedro regular de aresta \,6\text{ cm}. Pede:
– (a) distância entre duas arestas opostas;
– (b) raio da esfera inscrita.
Vamos usar coordenadas em \mathbb R^3 para calcular a distância entre retas escareadas e depois achar o raio inscrito via razão r=3V/S, onde V é o volume e S a área total.

Passo 2

Escolhemos vértices de um tetraedro regular de aresta a:
v_1=(0,0,0),\quad v_2=(a,0,0),\quad v_3=\Bigl(\tfrac a2,\tfrac{a\sqrt3}2,0\Bigr),
v_4=\Bigl(\tfrac a2,\tfrac{a\sqrt3}6,a\sqrt{\tfrac23}\Bigr).
Tomamos a reta L_1 que passa por v_1 e v_2, e a reta L_2 que passa por v_3 e v_4. Seja
u=v_2-v_1=(a,0,0),\quad v=v_4-v_3=\bigl(0,-\tfrac{a\sqrt3}3,a\sqrt{\tfrac23}\bigr),
e o vetor de ligação
w=v_3-v_1=\bigl(\tfrac a2,\tfrac{a\sqrt3}2,0\bigr).
A distância entre retas escareadas é
d=\frac{\bigl|(u\times v)\cdot w\bigr|}{\|u\times v\|}.

Passo 3

Calcula-se
u\times v =(a,0,0)\times\bigl(0,-\tfrac{a\sqrt3}3,a\sqrt{\tfrac23}\bigr) =(0,\,-a^2\sqrt{\tfrac23},\,-\tfrac{a^2\sqrt3}3)
e
\|u\times v\| =a^2\sqrt{\tfrac23+\tfrac13}=a^2.
Também
(u\times v)\cdot w =-\frac{a^3\sqrt2}{2} \quad\Longrightarrow\quad d=\frac{a^3\frac{\sqrt2}{2}}{a^2}=\frac{a\sqrt2}{2}.
Para a=6,
d= \frac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2\text{ cm}.

Passo 4

O volume de um tetraedro regular de aresta a é
V=\frac{a^3}{6\sqrt2},
cada face tem área \tfrac{a^2\sqrt3}{4}, logo a área total é
S=4\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}=a^2\sqrt3.
O raio inscrito satisfaz
r=\frac{3V}{S} =\frac{3\,(a^3/(6\sqrt2))}{a^2\sqrt3} =\frac{a}{2\sqrt6}\,\sqrt6 =\frac{a\sqrt6}{12}.

Passo 5

Para a=6,
r=\frac{6\sqrt6}{12}=\frac{\sqrt6}{2}\text{ cm}.

Resposta

a) 3\sqrt2 cm
b) \dfrac{\sqrt6}{2} cm

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