(Unicamp 2005) Dois navios partiram ao mesmo tempo, de um mesmo porto, em direções perpendiculares e a velocidades constantes. Trinta minutos após a partida, a distância entre os dois navios era de 15 km e, após mais 15 minutos, um dos navios estava 4,5 \mathrm{~km} mais longe do porto que o outro.
a) Quais as velocidades dos dois navios, em \mathrm{km} / \mathrm{h} ?
b) Qual a distância de cada um dos navios até o porto de saída, 270 minutos após a partida?

Passo 1

O enunciado diz que dois navios saem de um mesmo porto em direções perpendiculares com velocidades constantes v_1 e v_2 (em km/h). Precisamos usar geometria (teorema de Pitágoras) e sistemas lineares para achar v_1 e v_2 a partir de duas informações de tempo e distância, e depois calcular as posições após 270 minutos (4,5 h).

Passo 2

Trinta minutos após a partida ( t=0,5 h), a distância entre os navios é 15 km. Como eles seguem em direções perpendiculares, vale
\sqrt{(v_1\cdot0,5)^2 + (v_2\cdot0,5)^2} = 15.
Elevando ao quadrado e simplificando:
0,25\,(v_1^2 + v_2^2) = 225 \quad\Longrightarrow\quad v_1^2 + v_2^2 = 900.

Passo 3

Quinze minutos depois ( t=0,75 h), um navio está 4,5 km mais longe do porto que o outro. Logo
\bigl|\,0,75\,v_1 - 0,75\,v_2\bigr| = 4,5 \quad\Longrightarrow\quad |v_1 - v_2| = 6.
Sem perda de generalidade, tomamos v_1 > v_2 e escrevemos
v_1 - v_2 = 6.

Passo 4

Resolvendo o sistema
\begin{cases} v_1^2 + v_2^2 = 900,\\\ v_1 - v_2 = 6, \end{cases}
substituímos v_1 = v_2 + 6 em v_1^2 + v_2^2 = 900:
(v_2+6)^2 + v_2^2 = 900 \;\Longrightarrow\; 2v_2^2 + 12v_2 - 864 = 0 \;\Longrightarrow\; v_2^2 +6v_2 -432 =0.
A solução positiva é v_2 = 18 km/h e, então, v_1 = 24 km/h.

Passo 5

Após 270 minutos ( 4,5 h), as distâncias ao porto são
d_1 = v_1 \times 4,5 = 24 \times 4,5 = 108\text{ km}, \qquad d_2 = v_2 \times 4,5 = 18 \times 4,5 = 81\text{ km}.

Resposta

a) v_1 = 24 km/h e v_2 = 18 km/h.
b) Após 270 minutos, os navios estão a 108 km e 81 km do porto, respectivamente.

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