1. (UFC-CE) A base de uma pirâmide regular é um triângulo equilátero de perímetro igual a 18 cm . Sabendo que o volume da pirâmide é igual a 72 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{3}, calcule, em centímetros, o valor da altura da pirâmide.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a altura da pirâmide. As informações dadas são:
  • A base da pirâmide é um triângulo equilátero com perímetro igual a \,18\\ \text{cm}.
  • O volume da pirâmide vale \,72\sqrt{3}\\ \text{cm}^3.
  • Queremos encontrar a altura da pirâmide (altura perpendicular do vértice até o plano da base).

Passo 2

Primeiro encontramos o lado do triângulo equilátero. Se o perímetro vale \,18\\ \text{cm} e o triângulo tem três lados iguais, então o lado a satisfaz
3a = 18.
Logo
a = \frac{18}{3} = 6\\ \text{cm}.

Passo 3

Agora calculamos a área da base (triângulo equilátero). Vou lembrar e demonstrar a fórmula da área de um triângulo equilátero: em um triângulo equilátero de lado a ao traçar a altura do triângulo, ela divide o triângulo em dois triângulos retângulos com catetos a/2 e a altura h_t, e hipotenusa a. Pela hipótese de Pitágoras:
h_t = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}.
Substituindo,
h_t = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}.
A área do triângulo (base vezes altura sobre 2) é
A_{\text{base}} = \frac{1}{2}\,a\,h_t = \frac{1}{2}\,a\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.
Com a=6,
A_{\text{base}} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\\ \text{cm}^2.

Passo 4

Usamos a fórmula do volume de uma pirâmide: o volume V é um terço do produto da área da base pela altura H da pirâmide:
V = \frac{1}{3}\,A_{\text{base}}\,H.
Aqui V é o volume dado, A_{\text{base}} é a área que calculamos e H é a altura que queremos. Substituindo os valores conhecidos:
72\sqrt{3} = \frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot H.

Passo 5

Resolvemos a equação para H. Primeiro simplificamos o lado direito:
\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3} = 3\sqrt{3},
portanto a equação fica
72\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\,H.
Como \sqrt{3}\neq 0, podemos dividir ambos os lados por \sqrt{3}, obtendo
72 = 3H.
Logo
H = \frac{72}{3} = 24\\ \text{cm}.

Resposta

24\\ \text{cm}

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