- (UFC-CE) A base de uma pirâmide regular é um triângulo equilátero de perímetro igual a 18 cm . Sabendo que o volume da pirâmide é igual a
, calcule, em centímetros, o valor da altura da pirâmide.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a altura da pirâmide. As informações dadas são:
- A base da pirâmide é um triângulo equilátero com perímetro igual a
. - O volume da pirâmide vale
. - Queremos encontrar a altura da pirâmide (altura perpendicular do vértice até o plano da base).
Passo 2
Primeiro encontramos o lado do triângulo equilátero. Se o perímetro vale
e o triângulo tem três lados iguais, então o lado
satisfaz
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Passo 3
Agora calculamos a área da base (triângulo equilátero). Vou lembrar e demonstrar a fórmula da área de um triângulo equilátero: em um triângulo equilátero de lado
ao traçar a altura do triângulo, ela divide o triângulo em dois triângulos retângulos com catetos
e a altura
, e hipotenusa
. Pela hipótese de Pitágoras:
Substituindo,
A área do triângulo (base vezes altura sobre 2) é
Com
,
Passo 4
Usamos a fórmula do volume de uma pirâmide: o volume
é um terço do produto da área da base pela altura
da pirâmide:
Aqui
é o volume dado,
é a área que calculamos e
é a altura que queremos. Substituindo os valores conhecidos:
Passo 5
Resolvemos a equação para
. Primeiro simplificamos o lado direito:
portanto a equação fica
Como
, podemos dividir ambos os lados por
, obtendo
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