(UFG) Suponha que o número de sapatos produzidos por uma pequena indústria é dado, aproximadamente, pela função S(t)=1000 \cdot \log _{2}(1+t), onde t é o número de anos e S é o número de sapatos produzidos, contados a partir do início de atividade da indústria. Determine:
a) o número de sapatos produzidos no primeiro ano de atividade da indústria;
b) o tempo necessário para que a produção total seja de o triplo da produção do primeiro ano.

Passo 1

O enunciado fornece a função de produção
S(t)=1000\cdot\log_{2}(1+t),
onde t é o tempo em anos contado desde o início da atividade e S(t) é o número de sapatos produzidos até o instante t. Perguntas pedidas:
  1. (a) Determinar o número de sapatos produzidos no primeiro ano de atividade da indústria (ou seja, em t=1).
  2. (b) Determinar o tempo t necessário para que a produção total seja o triplo da produção do primeiro ano.
Informações relevantes dadas:
S(t)=1000\cdot\log_{2}(1+t),\qquad t\ge 0.
(No contexto, t será um número real não-negativo, medido em anos.)

Passo 2

Entendendo o que é \log_{2}(1+t) — uma aula rápida e prática sobre logaritmos:
  • A expressão \log_{2}(x) significa “o expoente a que devemos elevar 2 para obter x”. Em outras palavras, se
\log_{2}(x)=y,
então
x=2^{y}.
  • Exemplos simples para fixar a ideia: \log_{2}(2)=1 porque 2^{1}=2. \log_{2}(8)=3 porque 2^{3}=8.
  • Domínio: \log_{2}(1+t) só está definido se 1+t>0, ou seja t>-1. Como estamos olhando anos desde o início, usamos t\ge0, então está tudo bem.
Essa propriedade fundamental (logaritmo como inverso da exponenciação) será usada para resolver a parte (b).

Passo 3

Resolvendo (a): calcular a produção no primeiro ano, isto é, S(1).
Substituímos t=1 na fórmula:
S(1)=1000\cdot\log_{2}(1+1).
Calculamos 1+1=2, então:
S(1)=1000\cdot\log_{2}(2).
Como explicado antes, \log_{2}(2)=1 porque 2^{1}=2. Portanto:
S(1)=1000\cdot 1=1000.
Interpretando: no primeiro ano a indústria produziu 1000 sapatos.

Passo 4

Preparando a resolução de (b): entender “triplo da produção do primeiro ano”.
A produção do primeiro ano é S(1)=1000. O triplo disso é 3\cdot S(1)=3\cdot 1000=3000. Precisamos achar t tal que
S(t)=3000.
Ou seja, resolver a equação:
1000\cdot\log_{2}(1+t)=3000.
Agora vamos isolar \log_{2}(1+t) e usar a propriedade inversa do logaritmo.

Passo 5

Resolvendo a equação passo a passo:
  1. Dividimos ambos os lados por 1000:
\log_{2}(1+t)=\frac{3000}{1000}=3.
  1. Agora usamos a definição de logaritmo: se \log_{2}(1+t)=3, então
1+t=2^{3}.
  1. Calculamos 2^{3}=8, logo
1+t=8.
  1. Isolamos t:
t=8-1=7.
Portanto, são necessários 7 anos para que a produção total seja o triplo da produção do primeiro ano.

Passo 6

Verificação rápida (uma boa prática para a prova): substituir t=7 na expressão original para confirmar:
S(7)=1000\cdot\log_{2}(1+7)=1000\cdot\log_{2}(8)=1000\cdot 3=3000,
que é exatamente o triplo de 1000. Confere.

Resposta

(a) 1000 sapatos.
(b) 7 anos.

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