(UFG) Suponha que o número de sapatos produzidos por uma pequena indústria é dado, aproximadamente, pela função
, onde
é o número de anos e
é o número de sapatos produzidos, contados a partir do início de atividade da indústria. Determine:
a) o número de sapatos produzidos no primeiro ano de atividade da indústria;
b) o tempo necessário para que a produção total seja de o triplo da produção do primeiro ano.
a) o número de sapatos produzidos no primeiro ano de atividade da indústria;
b) o tempo necessário para que a produção total seja de o triplo da produção do primeiro ano.
Passo 1
O enunciado fornece a função de produção
onde
é o tempo em anos contado desde o início da atividade e
é o número de sapatos produzidos até o instante
. Perguntas pedidas:
- (a) Determinar o número de sapatos produzidos no primeiro ano de atividade da indústria (ou seja, em
). - (b) Determinar o tempo
necessário para que a produção total seja o triplo da produção do primeiro ano.
Informações relevantes dadas:
(No contexto,
será um número real não-negativo, medido em anos.)
Passo 2
Entendendo o que é
— uma aula rápida e prática sobre logaritmos:
- A expressão
significa “o expoente a que devemos elevar para obter ”. Em outras palavras, se
então
- Exemplos simples para fixar a ideia:
porque . porque . - Domínio:
só está definido se , ou seja . Como estamos olhando anos desde o início, usamos , então está tudo bem.
Essa propriedade fundamental (logaritmo como inverso da exponenciação) será usada para resolver a parte (b).
Passo 3
Resolvendo (a): calcular a produção no primeiro ano, isto é,
.
Substituímos
na fórmula:
Calculamos
, então:
Como explicado antes,
porque
. Portanto:
Interpretando: no primeiro ano a indústria produziu
sapatos.
Passo 4
Preparando a resolução de (b): entender “triplo da produção do primeiro ano”.
A produção do primeiro ano é
. O triplo disso é
. Precisamos achar
tal que
Ou seja, resolver a equação:
Agora vamos isolar
e usar a propriedade inversa do logaritmo.
Passo 5
Resolvendo a equação passo a passo:
- Dividimos ambos os lados por
:
- Agora usamos a definição de logaritmo: se
, então
- Calculamos
, logo
- Isolamos
:
Portanto, são necessários
anos para que a produção total seja o triplo da produção do primeiro ano.
Passo 6
Verificação rápida (uma boa prática para a prova): substituir
na expressão original para confirmar:
que é exatamente o triplo de
. Confere.
Resposta
(a)
sapatos.
(b) anos.
(b)