A lei seguinte representa uma estimativa sobre o número de funcionários de uma empresa, em função do tempo
, em anos de existência da empresa:
a) Quantos funcionários a empresa possuía na sua fundação?
b) Quantos funcionários foram incorporados à empresa do 20 ao 60 ano? (Admita que nenhum funcionário tenha saído).
b) Quantos funcionários foram incorporados à empresa do 20 ao 60 ano? (Admita que nenhum funcionário tenha saído).
Passo 1
O enunciado fornece a função que estima o número de funcionários em função do tempo
(anos):
Perguntas:
a) Quantos funcionários a empresa possuía na sua fundação? (isto é, em ).
b) Quantos funcionários foram incorporados à empresa do 20º ao 60º ano, supondo que ninguém saiu?
Informações dadas importantes: a expressão explícita de e a hipótese de que nenhum funcionário deixou a empresa entre os anos considerados.
a) Quantos funcionários a empresa possuía na sua fundação? (isto é, em
b) Quantos funcionários foram incorporados à empresa do 20º ao 60º ano, supondo que ninguém saiu?
Informações dadas importantes: a expressão explícita de
Passo 2
O que é
e algumas propriedades úteis (explicação passo a passo e em linguagem simples).
- Por definição,
é o expoente ao qual temos de elevar para obter . Ou seja, se então . Exemplo simples: porque . - Propriedade de diferença de logaritmos que vamos usar: para qualquer base
, , vale
Isto é útil para calcular variações: a parte constante
de
cancela quando subtraímos dois valores.
- Fórmula de mudança de base (caso precise calcular numericamente): para qualquer base
,
onde
é o logaritmo natural. Esta fórmula permite calcular valores numéricos de
se tivermos uma calculadora.
Vou usar essas ideias nas contas a seguir.
Vou usar essas ideias nas contas a seguir.
Passo 3
Resposta da letra (a): avaliar
na fundação, isto é em
. Substituindo:
Como visto acima,
porque
. Portanto
Interpretação: o modelo dá
funcionários no instante da fundação — número com metade de pessoa porque é modelo contínuo. Como não existe “meio funcionário” na realidade, arredondamos para uma interpretação prática: aproximadamente
funcionários (ou, se preferir tomar o inteiro inferior, pelo menos
funcionários). Vou deixar como resposta prática: aproximadamente
funcionários.
Passo 4
Resposta da letra (b): quantos funcionários foram incorporados do ano 20 ao 60, assumindo que ninguém saiu?
A variação no número de funcionários é simplesmente a diferença . Calculemos algebricamente primeiro:
A variação no número de funcionários é simplesmente a diferença
Os termos
se cancelam, então
Para obter um valor numérico, uso a mudança de base com log natural:
Agora os números (valores aproximados usando cálculo numérico):
,
, logo
. Também
. Dividindo:
Portanto o modelo prevê que
funcionários foram incorporados no intervalo de
a
. Interpretando na vida real (pessoas inteiras), isso corresponde a aproximadamente
funcionário a mais nesse intervalo (ou, se for exigido enunciar o número inteiro de funcionários realmente incorporados sem arredondamento para cima, pode-se dizer que o aumento foi menor que 1 funcionário, i.e., nenhum funcionário inteiro a mais em termos estritos). Em problemas desse tipo é comum reportar o valor aproximado do modelo e depois explicar o arredondamento. Vou apresentar a resposta prática: aumento aproximado de
funcionário (modelo: aumento
).
Resposta
a)
funcionários (
)
b) funcionário (modelo:
)
b)