A lei seguinte representa uma estimativa sobre o número de funcionários de uma empresa, em função do tempo t, em anos de existência da empresa:
f(t)=400+\log _{4}(t+2)
a) Quantos funcionários a empresa possuía na sua fundação?
b) Quantos funcionários foram incorporados à empresa do 20 ao 60 ano? (Admita que nenhum funcionário tenha saído).

Passo 1

O enunciado fornece a função que estima o número de funcionários em função do tempo t (anos):
f(t)=400+\log_{4}(t+2).
Perguntas:
a) Quantos funcionários a empresa possuía na sua fundação? (isto é, em t=0).
b) Quantos funcionários foram incorporados à empresa do 20º ao 60º ano, supondo que ninguém saiu?
Informações dadas importantes: a expressão explícita de f(t) e a hipótese de que nenhum funcionário deixou a empresa entre os anos considerados.

Passo 2

O que é \log_{4}(x) e algumas propriedades úteis (explicação passo a passo e em linguagem simples).
  • Por definição, \log_{4}(x) é o expoente ao qual temos de elevar 4 para obter x. Ou seja, se \log_{4}(x)=y então 4^{y}=x. Exemplo simples: \log_{4}(2)=\tfrac{1}{2} porque 4^{1/2}=\sqrt{4}=2.
  • Propriedade de diferença de logaritmos que vamos usar: para qualquer base a>0, a\neq1, vale
\log_{a}(X)-\log_{a}(Y)=\log_{a}\!\left(\frac{X}{Y}\right).
Isto é útil para calcular variações: a parte constante 400 de f(t) cancela quando subtraímos dois valores.
  • Fórmula de mudança de base (caso precise calcular numericamente): para qualquer base b,
\log_{4}(z)=\frac{\ln(z)}{\ln(4)},
onde \ln é o logaritmo natural. Esta fórmula permite calcular valores numéricos de \log_{4} se tivermos uma calculadora.
Vou usar essas ideias nas contas a seguir.

Passo 3

Resposta da letra (a): avaliar f na fundação, isto é em t=0. Substituindo:
f(0)=400+\log_{4}(0+2)=400+\log_{4}(2).
Como visto acima, \log_{4}(2)=\tfrac{1}{2} porque 4^{1/2}=2. Portanto
f(0)=400+\tfrac{1}{2}=400{,}5.
Interpretação: o modelo dá 400{,}5 funcionários no instante da fundação — número com metade de pessoa porque é modelo contínuo. Como não existe “meio funcionário” na realidade, arredondamos para uma interpretação prática: aproximadamente 401 funcionários (ou, se preferir tomar o inteiro inferior, pelo menos 400 funcionários). Vou deixar como resposta prática: aproximadamente 401 funcionários.

Passo 4

Resposta da letra (b): quantos funcionários foram incorporados do ano 20 ao 60, assumindo que ninguém saiu?
A variação no número de funcionários é simplesmente a diferença f(60)-f(20). Calculemos algebricamente primeiro:
f(60)-f(20)=\bigl(400+\log_{4}(60+2)\bigr)-\bigl(400+\log_{4}(20+2)\bigr).
Os termos 400 se cancelam, então
f(60)-f(20)=\log_{4}(62)-\log_{4}(22)=\log_{4}\!\left(\frac{62}{22}\right)=\log_{4}\!\left(\frac{31}{11}\right).
Para obter um valor numérico, uso a mudança de base com log natural:
\log_{4}\!\left(\frac{31}{11}\right)=\frac{\ln(31/11)}{\ln(4)}.
Agora os números (valores aproximados usando cálculo numérico): \ln(31)\approx3{,}4339872, \ln(11)\approx2{,}3978953, logo \ln(31/11)\approx1{,}0360919. Também \ln(4)\approx1{,}3862944. Dividindo:
\frac{1{,}0360919}{1{,}3862944}\approx0{,}7478.
Portanto o modelo prevê que f(60)-f(20)\approx0{,}7478 funcionários foram incorporados no intervalo de t=20 a t=60. Interpretando na vida real (pessoas inteiras), isso corresponde a aproximadamente 1 funcionário a mais nesse intervalo (ou, se for exigido enunciar o número inteiro de funcionários realmente incorporados sem arredondamento para cima, pode-se dizer que o aumento foi menor que 1 funcionário, i.e., nenhum funcionário inteiro a mais em termos estritos). Em problemas desse tipo é comum reportar o valor aproximado do modelo e depois explicar o arredondamento. Vou apresentar a resposta prática: aumento aproximado de 1 funcionário (modelo: aumento \approx0{,}748).

Resposta

a) \approx 401 funcionários ( f(0)=400{,}5)
b) \approx 1 funcionário (modelo: f(60)-f(20)\approx0{,}748)

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