(UFSCAR) A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à produção de madeira, evolui desde que é plantada, segundo o seguinte modelo matemático: h(t)=1,5+\log _{3}(t+1) com h(t) em metros e t em anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m de altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento da plantação até o do corte foi de:
a) 9
b) 8
c) 5
d) 4
e) 2

Passo 1

O enunciado dá a altura média do tronco em função do tempo:
h(t)=1,5+\log_{3}(t+1),
onde h(t) está em metros e t em anos. Foi informado que a árvore foi cortada quando atingiu 3,5 m. A pergunta é: qual foi o tempo t (em anos) transcorrido desde o plantio até o corte?
Informações relevantes listadas:
\begin{aligned} &\text{Função: } h(t)=1,5+\log_{3}(t+1).\\\ &\text{Condicional: } h(t)=3,5\\ \text{no momento do corte.}\\\ &\text{Domínio implícito: } t+1>0 \Rightarrow t>-1,\\ \text{e como }t\text{ é tempo, }t\ge0. \end{aligned}çãííé

Passo 2

Substituímos h(t)=3,5 na expressão e isolamos o termo logarítmico. Começo subtraindo 1,5 dos dois lados:
3,5 = 1,5 + \log_{3}(t+1)
3,5-1,5 = \log_{3}(t+1).
Faço a conta: 3,5-1,5=2. Portanto
\log_{3}(t+1)=2.

Passo 3

Agora uso a definição de logaritmo: a igualdade \log_{a}(x)=b é equivalente a x=a^{b}. Aplicando isso com a=3, x=t+1 e b=2, obtemos
t+1 = 3^{2}.
Calculo 3^{2}=9, então
t+1=9.

Passo 4

Isolo t subtraindo 1 de ambos os lados:
t = 9-1 = 8.
Verifico a coerência com o domínio: t=8\ge0, logo é válido como tempo. Posso ainda checar substituindo de volta na função:
h(8)=1,5+\log_{3}(8+1)=1,5+\log_{3}(9)=1,5+2=3,5,
o que confirma que t=8 é correto.

Passo 5

Interpretação final: o tempo transcorrido desde o plantio até o corte foi de 8 anos. Entre as alternativas dadas, isso corresponde à letra (b).

Resposta

b) 8

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