(Unilus-SP) Uma pediatra, após estudar o crescimento médio das crianças de um determinado município, com idades que variam de 1 a 14 anos, obteve a fórmula h(t)=\log \left(10^{0,8} \cdot \sqrt{t}\right), onde h é a altura (em metros) e t é a idade (em anos).
Baseando nesses estudos, podemos afirmar que uma criança de 10 anos deste município terá de altura:
a) 140 cm
b) 124 cm
c) 128 cm
d) 130 cm
e) 132 cm

Passo 1

O enunciado dá a fórmula da altura em função da idade:
h(t)=\log\left(10^{0,8}\cdot\sqrt{t}\right),
onde h é a altura em metros e t é a idade em anos. A pergunta é: qual a altura de uma criança com t=10 anos? As alternativas estão em centímetros: 140 cm, 124 cm, 128 cm, 130 cm, 132 cm. Vamos usar os dados: a fórmula acima e t=10.

Passo 2

Substituímos t=10 na fórmula para escrever a expressão que precisamos calcular:
h(10)=\log\!\left(10^{0,8}\cdot\sqrt{10}\right).
Aqui deixei a expressão pronta para simplificar com regras de logaritmo.

Passo 3

Lembrete das propriedades de logaritmos que vamos usar (uma mini-aula rápida e prática):
  • A propriedade do produto: \log(a\cdot b)=\log(a)+\log(b). Isso vale para qualquer base fixa do logaritmo.
  • A propriedade da potência: \log(a^k)=k\cdot\log(a).
    Um exemplo simples para fixar: \log_{10}(1000)=\log_{10}(10^3)=3, porque \log_{10}(10)=1.

Passo 4

Aplicando a propriedade do produto à expressão de h(10):
h(10)=\log\!\left(10^{0,8}\right)+\log\!\left(\sqrt{10}\right).
Agora aplicamos a propriedade da potência. Note que \sqrt{10}=10^{1/2}, então
\log\!\left(10^{0,8}\right)=0,8\cdot\log(10)
e
\log\!\left(\sqrt{10}\right)=\log\!\left(10^{1/2}\right)=\tfrac{1}{2}\cdot\log(10).

Passo 5

Aqui assumimos que o logaritmo é na base 10 (razão: a presença de 10^{0,8} torna natural usar \log_{10}; além disso, as alternativas numéricas batem com essa escolha). Para \log_{10} vale \log_{10}(10)=1. Assim:
\log\!\left(10^{0,8}\right)=0,8\cdot 1=0,8
e
\log\!\left(\sqrt{10}\right)=\tfrac{1}{2}\cdot 1=0,5.
Somando:
h(10)=0,8+0,5=1,3\\ \text{(metros)}.

Passo 6

Convertemos metros para centímetros: 1 metro =100 centímetros. Logo
1,3\\ \text{m} = 1,3\cdot 100 = 130\\ \text{cm}.
Pronto — chegamos a um valor que aparece nas alternativas.

Passo 7

Comparando com as alternativas dadas, a altura correta é 130 cm, que corresponde à alternativa d). Força aí — você fez o raciocínio correto passo a passo e já pode aplicar essa técnica em questões parecidas!

Resposta

d) 130\\ \text{cm}

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