1. (UFMG) Um espelho côncavo tem raio de curvatura igual a 24 cm . Um objeto de 4 cm de altura é colocado 48 cm à frente desse espelho.
    a) A que distância do espelho se forma a imagem?
    b) Que se pode dizer a respeito da natureza e tamanho dessa imagem?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (vou listar tudo claro e curto):
  • Raio de curvatura do espelho: \;R=24\\ \mathrm{cm}.
  • Altura do objeto: \;h=4\\ \mathrm{cm}.
  • Distância do objeto ao espelho (medida ao longo do eixo principal): \;p=48\\ \mathrm{cm}.
Perguntas do enunciado:
a) A que distância do espelho se forma a imagem?
b) Qual a natureza (real/virtual, erecta/invertida) e o tamanho (altura) dessa imagem?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada coisa com calma):
  • Focal e centro: para um espelho esférico concavo, o foco está no ponto onde raios paralelos convergem. O raio de curvatura R é a distância do vértice do espelho até o centro da esfera. A distância focal f e o raio de curvatura estão relacionados por:
f=\frac{R}{2}.
Aqui \;f é a distância do foco ao vértice do espelho. (É uma relação geométrica que vem da geometria da esfera e das reflexões.)
  • Equação dos espelhos (espelho esférico, usando convenções de sinal usuais onde para espelho côncavo f>0 e objetos reais em frente ao espelho têm p>0):
\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}.
Explicação: \;p é a distância do objeto ao vértice do espelho, \;p' é a distância da imagem ao vértice. Essa fórmula vem de considerações com triângulos semelhantes formados pelos raios principais (não vou refazer toda a demonstração geométrica aqui, mas é uma consequência direta da reflexão e da geometria de triângulos semelhantes).
  • Ampliação linear (magnificação): relaciona altura da imagem h' com a altura do objeto h e as distâncias:
m=\frac{h'}{h}=-\frac{p'}{p}.
Explicação do sinal: o sinal negativo em -\dfrac{p'}{p} indica que, quando p'>0 (imagem formada na frente do espelho, imagem real), a imagem fica invertida em relação ao objeto. O módulo |m| diz o fator de redução/ameaçamento da imagem.

Passo 3

Calculando a distância focal \;f a partir de \;R:
f=\frac{R}{2}=\frac{24\\ \mathrm{cm}}{2}=12\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Usando a equação dos espelhos para achar \;p'. Escrevo a equação e isolo \frac{1}{p'}:
\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{p'}=\frac{1}{f}-\frac{1}{p}.
Agora substituo os valores numéricos (todos em \mathrm{cm}):
\frac{1}{p'}=\frac{1}{12}-\frac{1}{48}.
Faço as contas com denominador comum 48:
\frac{1}{p'}=\frac{4}{48}-\frac{1}{48}=\frac{3}{48}=\frac{1}{16}.
Portanto
p'=16\\ \mathrm{cm}.
Interpretação do sinal e posição: aqui obtemos \;p'=16\\ \mathrm{cm}>0, ou seja, a imagem forma-se na frente do espelho (lado dos objetos reais) — isso identifica a imagem como real. Em termos de posição relativa ao foco e ao centro: f=12\\ \mathrm{cm} e o centro está em R=24\\ \mathrm{cm}, então a imagem em 16\\ \mathrm{cm} fica entre o foco ( 12\\ \mathrm{cm}) e o centro ( 24\\ \mathrm{cm}).

Passo 5

Agora calculo a ampliação m e a altura da imagem h'. Uso a fórmula
m=-\frac{p'}{p}=-\frac{16}{48}=-\frac{1}{3}.
O sinal negativo indica que a imagem é invertida em relação ao objeto. O módulo |m|=\tfrac{1}{3} diz que a imagem é reduzida a um terço do tamanho do objeto. Então a altura da imagem é
h'=m\cdot h=-\tfrac{1}{3}\cdot 4\\ \mathrm{cm}=-\tfrac{4}{3}\\ \mathrm{cm}.
O valor -\tfrac{4}{3}\\ \mathrm{cm} diz que a imagem tem altura \tfrac{4}{3}\\ \mathrm{cm} em módulo e está invertida (o sinal negativo representa essa inversão).

Passo 6

Resumo físico (para você decorar o raciocínio na prova):
  • Objetos reais colocados fora do centro tendem a formar imagens reais, invertidas e reduzidas entre foco e centro dependendo da posição. No nosso caso específico, o objeto está a \;48\\ \mathrm{cm} do espelho, e a imagem aparece a \;16\\ \mathrm{cm} — ou seja, a imagem está entre o foco ( 12\\ \mathrm{cm}) e o centro ( 24\\ \mathrm{cm}), é real, invertida e tem um terço da altura do objeto.

Passo 7

Pequena checagem numérica rápida (para evitar erro de conta): se \;p'=16\\ \mathrm{cm}, então \frac{1}{f}=\frac{1}{12} e \frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=\frac{1}{48}+\frac{1}{16}=\frac{1+3}{48}=\frac{4}{48}=\frac{1}{12}. Confere — equação satisfeita. E a ampliação -\tfrac{1}{3} aplicada a 4\\ \mathrm{cm} -\tfrac{4}{3}\\ \mathrm{cm}. Tudo consistente.

Resposta

a) \;16\\ \mathrm{cm}.
b) Imagem real, invertida e reduzida; altura \;-\tfrac{4}{3}\\ \mathrm{cm} (módulo \tfrac{4}{3}\\ \mathrm{cm}).

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