- (UFMG) Um espelho côncavo tem raio de curvatura igual a 24 cm . Um objeto de 4 cm de altura é colocado 48 cm à frente desse espelho.
a) A que distância do espelho se forma a imagem?
b) Que se pode dizer a respeito da natureza e tamanho dessa imagem?
a) A que distância do espelho se forma a imagem?
b) Que se pode dizer a respeito da natureza e tamanho dessa imagem?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (vou listar tudo claro e curto):
- Raio de curvatura do espelho:
. - Altura do objeto:
. - Distância do objeto ao espelho (medida ao longo do eixo principal):
.
Perguntas do enunciado:
a) A que distância do espelho se forma a imagem?
b) Qual a natureza (real/virtual, erecta/invertida) e o tamanho (altura) dessa imagem?
a) A que distância do espelho se forma a imagem?
b) Qual a natureza (real/virtual, erecta/invertida) e o tamanho (altura) dessa imagem?
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada coisa com calma):
- Focal e centro: para um espelho esférico concavo, o foco está no ponto onde raios paralelos convergem. O raio de curvatura
é a distância do vértice do espelho até o centro da esfera. A distância focal e o raio de curvatura estão relacionados por:
Aqui
é a distância do foco ao vértice do espelho. (É uma relação geométrica que vem da geometria da esfera e das reflexões.)
- Equação dos espelhos (espelho esférico, usando convenções de sinal usuais onde para espelho côncavo
e objetos reais em frente ao espelho têm ):
Explicação:
é a distância do objeto ao vértice do espelho,
é a distância da imagem ao vértice. Essa fórmula vem de considerações com triângulos semelhantes formados pelos raios principais (não vou refazer toda a demonstração geométrica aqui, mas é uma consequência direta da reflexão e da geometria de triângulos semelhantes).
- Ampliação linear (magnificação): relaciona altura da imagem
com a altura do objeto e as distâncias:
Explicação do sinal: o sinal negativo em
indica que, quando
(imagem formada na frente do espelho, imagem real), a imagem fica invertida em relação ao objeto. O módulo
diz o fator de redução/ameaçamento da imagem.
Passo 3
Calculando a distância focal
a partir de
:
Passo 4
Usando a equação dos espelhos para achar
. Escrevo a equação e isolo
:
Agora substituo os valores numéricos (todos em
):
Faço as contas com denominador comum
:
Portanto
Interpretação do sinal e posição: aqui obtemos
, ou seja, a imagem forma-se na frente do espelho (lado dos objetos reais) — isso identifica a imagem como real. Em termos de posição relativa ao foco e ao centro:
e o centro está em
, então a imagem em
fica entre o foco (
) e o centro (
).
Passo 5
Agora calculo a ampliação
e a altura da imagem
. Uso a fórmula
O sinal negativo indica que a imagem é invertida em relação ao objeto. O módulo
diz que a imagem é reduzida a um terço do tamanho do objeto. Então a altura da imagem é
O valor
diz que a imagem tem altura
em módulo e está invertida (o sinal negativo representa essa inversão).
Passo 6
Resumo físico (para você decorar o raciocínio na prova):
- Objetos reais colocados fora do centro tendem a formar imagens reais, invertidas e reduzidas entre foco e centro dependendo da posição. No nosso caso específico, o objeto está a
do espelho, e a imagem aparece a — ou seja, a imagem está entre o foco ( ) e o centro ( ), é real, invertida e tem um terço da altura do objeto.
Passo 7
Pequena checagem numérica rápida (para evitar erro de conta): se
, então
e
. Confere — equação satisfeita. E a ampliação
aplicada a
dá
. Tudo consistente.
Resposta
a)
.
b) Imagem real, invertida e reduzida; altura
(módulo
).