Um oscilador harmônico simples consiste de uma massa de 2,0kg acoplado a uma mola de constante 100 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Quando \mathrm{t}=1,00 \mathrm{~s}, a posição e a velocidade do bloco são \mathrm{x}=0,25 \mathrm{~m} e \mathrm{v}=3,7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
Qual é a amplitude das oscilações em unidade de metro?
Observações: Responda apenas o valor numérico, com duas casas decimais, ex: 1,20.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a amplitude das oscilações:
m=2,0\\ \mathrm{kg}
k=100\\ \mathrm{N/m}
x( t=1{,}00\\ \mathrm{s})=0{,}25\\ \mathrm{m}
v( t=1{,}00\\ \mathrm{s})=3{,}7\\ \mathrm{m/s}
Pergunta: qual é a amplitude A das oscilações (em metros)?

Passo 2

Vamos usar a conservação da energia mecânica do oscilador harmônico simples. A energia total é constante e, no máximo do deslocamento, toda a energia é energia potencial elástica \tfrac{1}{2}kA^{2}. Em qualquer instante com posição x e velocidade v, a energia total é soma da energia potencial e da energia cinética:
\frac{1}{2}kA^{2}=\frac{1}{2}kx^{2}+\frac{1}{2}mv^{2}.
Explicando as variáveis:
  • A é a amplitude (o que queremos),
  • k é a constante elástica da mola,
  • x é a posição naquele instante,
  • m é a massa,
  • v é a velocidade naquele instante.
Multiplicando por 2 e isolando A^{2} obtemos:
kA^{2}=kx^{2}+mv^{2}
A^{2}=x^{2}+\frac{m}{k}v^{2}.
Observação útil: como a frequência angular é \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}, temos \dfrac{m}{k}=\dfrac{1}{\omega^{2}} e portanto também vale
A=\sqrt{x^{2}+\left(\frac{v}{\omega}\right)^{2}}.

Passo 3

Calculemos primeiro a frequência angular \omega:
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{100}{2}}=\sqrt{50}.
Aproximando,
\omega\approx 7{,}0710678\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Calculemos o termo \dfrac{v}{\omega}. Como 1/\omega=\sqrt{\dfrac{m}{k}}=\sqrt{\dfrac{2}{100}}=\sqrt{0{,}02}, temos
\frac{v}{\omega}=v\sqrt{\frac{m}{k}}=3{,}7\cdot\sqrt{0{,}02}.
Aproximando,
\sqrt{0{,}02}\approx 0{,}141421356,
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\frac{v}{\omega}\approx 3{,}7\cdot 0{,}141421356\approx 0{,}523259018.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula para A:
A=\sqrt{x^{2}+\left(\frac{v}{\omega}\right)^{2}}.
Substituindo os valores numéricos:
x^{2}=(0{,}25)^{2}=0{,}0625,
\left(\frac{v}{\omega}\right)^{2}\approx(0{,}523259018)^{2}\approx 0{,}2737999.
Somando:
A^{2}\approx 0{,}0625+0{,}2737999=0{,}3362999.
Tirando a raiz quadrada:
A\approx\sqrt{0{,}3362999}\approx 0{,}58005\\ \mathrm{m}.
Arredondando para duas casas decimais, obtemos A\approx 0{,}58\\ \mathrm{m}.

Resposta

0,58

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