(UFMG) Se f é uma função tal que f(1)=3 e f(x+y)=f(x)+f(y) para qualquer x e y reais, então f(2) é igual a
A) 1
B) 2
C) 3
D) 6
E) 8

Passo 1

O enunciado nos dá uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} que satisfaz
f(x+y)=f(x)+f(y)
para todos x,y\in\mathbb{R} e ainda sabemos que f(1)=3.
O conteúdo aqui é a equação de Cauchy (função aditiva) e vamos usar indução para valores inteiros.

Passo 2

Primeiro, mostramos que f(0)=0. Basta observar que, para x=0,
f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0),
logo f(0)=0.

Passo 3

Agora provamos por indução que, para todo inteiro positivo n, vale
f(n)=n\,f(1).
Base ( n=1): é dado que f(1)=1\cdot f(1).
Passo indutivo: suponha f(n)=n\,f(1). Então
f(n+1)=f(n)+f(1)=n\,f(1)+f(1)=(n+1)f(1).

Passo 4

Aplicando ao caso n=2, temos
f(2)=2\,f(1)=2\cdot3=6.

Resposta

D) 6

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