1. (UFMG) Uma função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é tal que f(5 x)=5 f(x) para todo número real \mathbf{x}. Se \mathrm{f}(25)=75, então o valor de \mathrm{f}(1) é
    A) 3
    B) 5
    C) 15
    D) 25
    E) 45

Passo 1

O enunciado dá uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} tal que
f(5x)=5\,f(x)
para todo x, e informa que f(25)=75. Preciso encontrar f(1). O conteúdo é equação funcional de homogeneidade em razão de 5.

Passo 2

Escolho x=5. Pela relação dada:
f(5\cdot5)=5\,f(5)
isto é,
f(25)=5\,f(5).
Como f(25)=75, vem
75=5\,f(5) \quad\Longrightarrow\quad f(5)=15.

Passo 3

Agora escolho x=1. De novo pela relação:
f(5\cdot1)=5\,f(1),
ou seja
f(5)=5\,f(1).
Como já achamos f(5)=15, segue
15=5\,f(1) \quad\Longrightarrow\quad f(1)=3.

Resposta

A) 3

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