1. (UFMG-2010) Considere a função:
f(x)=\left\{\begin{array}{l} x, \text { se } x \text { é racional } \\\ \frac{1}{x}, \text { se } x \text { é irracional } \end{array}\right.éé
Então, é CORRETO afirmar que o MAIOR elemento do conjunto \left\{f\left(\frac{7}{31}\right), f(1), f(3,14), f\left(\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{2}}\right)\right\} é
A) f\left(\frac{7}{31}\right)
B) f(1)
C) f(3,14)
D) f\left(\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{2}}\right)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} x,&\text{se }x\text{ é racional},\\\ \dfrac1x,&\text{se }x\text{ é irracional}. \end{cases}éé
Queremos comparar os valores
\displaystyle f\bigl(\tfrac7{31}\bigr), f(1), f(3,14) e f\bigl(\tfrac{\sqrt{24}}{\sqrt2}\bigr).
O conteúdo é reconhecimento de números racionais versus irracionais e aplicação direta da definição de f.

Passo 2

Analisamos \displaystyle x=\tfrac7{31}. Como \tfrac7{31} é racional,
f\Bigl(\tfrac7{31}\Bigr) =\tfrac7{31}\approx0{,}2258.
Também 1 é racional, logo
f(1)=1.

Passo 3

Analisamos x=3,14. Como 3{,}14 é decimal finito, é racional (de fato 3{,}14=\tfrac{314}{100}=\tfrac{157}{50}). Assim
f(3,14)=3{,}14.

Passo 4

Analisamos x=\dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt2}. Note que
\frac{\sqrt{24}}{\sqrt2} =\sqrt{\frac{24}{2}} =\sqrt{12} =2\sqrt3,
que é irracional. Portanto
f\bigl(2\sqrt3\bigr) =\frac1{2\sqrt3} \approx0{,}2887.

Passo 5

Reunindo os valores:
f\Bigl(\tfrac7{31}\Bigr)\approx0{,}226,\quad f(1)=1,\quad f(3,14)=3{,}14,\quad f\bigl(\tfrac{\sqrt{24}}{\sqrt2}\bigr)\approx0{,}289.
O maior deles é 3{,}14, ou seja f(3,14).

Resposta

C) f(3,14)

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