(UFJF-MG) Um trem se aproxima, apitando, a uma velocidade de 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em relação à plataforma de uma estaçào. A frequēncia sonora do apito do trem é 1,0 \mathrm{kHz}, como medida pelo maquinista. Considerando a velocidade do som no ar como 340 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, podemos afirmar que um passageiro parado na plataforma ouviria o som com um comprimento de onda de?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta.
Dado:
\text{velocidade do som } v = 340\\ \text{m/s}
\text{velocidade do trem (fonte) } v_s = 20\\ \text{m/s}
\text{frequência do apito medida pelo maquinista } f_s = 1{,}0\\ \text{kHz} = 1000\\ \text{Hz}ê
Pergunta:
Um passageiro parado na plataforma ouviria o som com que comprimento de onda?

Passo 2

Conceito essencial: relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda.
A fórmula básica da onda sonora é
v = f\lambda,
onde:
  • \;v\; é a velocidade da onda no meio (m/s),
  • \;f\; é a frequência percebida pela pessoa (Hz),
  • \;\lambda\; é o comprimento de onda percebido (m).
Explicação simples: se a onda passa de f ciclos por segundo e cada ciclo “ocupa” um comprimento \lambda, a velocidade é quantos metros são “percorridos” por segundo: v = f\lambda.

Passo 3

Efeito do movimento da fonte (trem) sobre o comprimento de onda à frente dela — ideia e fórmula.
Intuição/derivação curta e didática:
  • O trem emite frentes de onda com período T = 1/f_s.
  • Entre duas frentes consecutivas emitidas, o som viaja uma distância vT.
  • Mas a fonte caminhou na direção do observador uma distância v_s T durante esse tempo, então as frentes ficaram mais próximas à frente da fonte, com separação efetiva
\lambda_{\text{ouvido}} = vT - v_s T = (v - v_s)T.
Como T = 1/f_s, obtemos a expressão direta para o comprimento de onda ouvido:
\lambda_{\text{ouvido}} = \frac{v - v_s}{f_s}.
Esta é uma forma muito prática para fonte em movimento e observador em repouso.

Passo 4

Aplicar a fórmula numérica para encontrar \lambda_{\text{ouvido}}.
Substituindo os números:
\lambda_{\text{ouvido}} = \frac{v - v_s}{f_s} = \frac{340 - 20}{1000}\\ \text{m} = \frac{320}{1000}\\ \text{m}.
Fazendo a divisão:
\lambda_{\text{ouvido}} = 0{,}320\\ \text{m}.

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, para fixar a ideia): usando a fórmula de Doppler para frequência observada.
A frequência percebida quando a fonte se aproxima é
f_{\text{obs}} = \frac{v}{\,v - v_s\,}\,f_s.
Calculando:
f_{\text{obs}} = \frac{340}{340-20}\cdot 1000 = \frac{340}{320}\cdot 1000 = 1062{,}5\\ \text{Hz}.
Usando v = f_{\text{obs}}\lambda temos
\lambda = \frac{v}{f_{\text{obs}}} = \frac{340}{1062{,}5} = 0{,}320\\ \text{m},
o que confirma o resultado anterior.

Resposta

0{,}320\\ \text{m}

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