(PSC 2016) Uma ambulância, cuja sirene emite um som com frequência de 1575 Hz , passa por um ciclista que está na margem da pista a 18 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Depois de ser ultrapassado, o ciclista escuta o som da sirene numa frequência de 1525 Hz . Dessa situação, podemos afirmar que a velocidade da ambulância è de aproximadamente?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a velocidade da ambulância:
  • Frequência emitida pela sirene: \displaystyle f=1575\\ \text{Hz}.
  • Frequência ouvida pelo ciclista depois de ser ultrapassado: \displaystyle f'=1525\\ \text{Hz}.
  • Velocidade do ciclista: \displaystyle v_{\text{cic}}=18\\ \text{km/h}.
  • O que se pede: a velocidade da ambulância (aproximada).

    Observação importante: o enunciado não fornece a velocidade do som no ar; vou assumir o valor padrão \displaystyle v=340\\ \text{m/s} (se você usar outro valor comum, por ex. \displaystyle 343\\ \text{m/s}, o resultado muda só um pouco).

Passo 2

Converter unidades para usar o SI (metros por segundo):
  • Converter a velocidade do ciclista: \displaystyle v_{\text{cic}} = 18\\ \text{km/h} = \dfrac{18}{3{,}6}\\ \text{m/s} = 5\\ \text{m/s}.

    Vou chamar a velocidade da ambulância de \displaystyle v_{\text{amb}} (em \text{m/s}). Nosso objetivo é calcular \displaystyle v_{\text{amb}} e no final converter para \text{km/h}.

Passo 3

Explicar a fórmula do efeito Doppler usada aqui (bem devagarinho):
  • O efeito Doppler diz como a frequência observada \displaystyle f' se relaciona com a frequência emitida \displaystyle f quando fonte e observador se movem em relação ao meio (ar).
  • Para um caso geral com velocidade do som \displaystyle v, observador com velocidade \displaystyle v_o e fonte com velocidade \displaystyle v_s, uma forma conveniente da fórmula é
f' = f \,\frac{v \pm v_o}{v \mp v_s},
onde os sinais dependem das direções relativas:
  • Use + em v_o se o observador se move em direção à fonte (isso aumenta f'); use - se se afasta (diminui f').
  • Use - em v_s se a fonte se move em direção ao observador (aumenta f'); use + se a fonte se afasta (diminui f').

    Sempre que usar a fórmula, identifique se observador/fonte estão se aproximando ou se afastando.

Passo 4

Aplicar a situação do problema (depois de ser ultrapassado):
  • Depois da ultrapassagem, a ambulância está à frente e se afasta do ciclista (a distância entre ambos aumenta, pois a ambulância é mais rápida). Logo a fonte está se afastando do observador → usamos v+v_s no denominador.
  • O ciclista (observador) também está se afastando da posição da fonte (a distância aumenta), porque a ambulância se afasta mais rápido que ele; então o observador está se afastando → usamos v-v_o no numerador.

    Portanto a expressão correta para este caso é
\boxed{\,f' = f\,\dfrac{v - v_o}{v + v_s}\,}
onde:
  • \displaystyle v é a velocidade do som ( \text{m/s}),
  • \displaystyle v_o é a velocidade do observador (ciclista) positiva quando se afasta (aqui \displaystyle v_o=5\\ \text{m/s}),
  • \displaystyle v_s é a velocidade da fonte (ambulância) positiva quando se afasta (o que é o nosso caso).

Passo 5

Isolar \displaystyle v_s na fórmula para poder calcular:

Partimos de
f' = f\,\dfrac{v - v_o}{v + v_s}.
Multiplicando ambos os lados por (v+v_s) e reorganizando,
f'(v+v_s) = f(v - v_o).
Expandindo e isolando \displaystyle v_s,
f'v + f'v_s = fv - fv_o
f'v_s = fv - fv_o - f'v
\boxed{\,v_s = \dfrac{v(f - f') - f\,v_o}{f'}\,}.

Passo 6

Substituir os valores numéricos e calcular (fazendo contas passo a passo):
  • Valores: \displaystyle f=1575, \displaystyle f'=1525, \displaystyle v=340\\ \text{m/s}, \displaystyle v_o=5\\ \text{m/s}.

    Calcular o numerador:
v(f - f') = 340\cdot(1575-1525) = 340\cdot 50 = 17000.
f\,v_o = 1575\cdot 5 = 7875.
\text{Numerador} = 17000 - 7875 = 9125.
Agora dividir por f':
v_s = \dfrac{9125}{1525} \approx 5{,}9836\\ \text{m/s}.

Passo 7

Converter \displaystyle v_s para \text{km/h} e arredondar:
1\\ \text{m/s} = 3{,}6\\ \text{km/h},
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v_{\text{amb}} = 5{,}9836\cdot 3{,}6 \approx 21{,}54\\ \text{km/h}.
Arredondando para um valor conveniente: aproximadamente \displaystyle 21{,}5\\ \text{km/h} (ou, se preferir arredondar grosso modo, \displaystyle 22\\ \text{km/h}).

Passo 8

Interpretação rápida e checagem (pra te dar confiança):
  • A diferença de frequência ouvida (de \displaystyle 1575 para \displaystyle 1525, só \displaystyle 50\\ \text{Hz}) é pequena, então faz sentido que a ambulância esteja só um pouco mais rápida que o ciclista.
  • Se tivesse usado \displaystyle v=343\\ \text{m/s} daria um valor muito próximo (diferença de poucos décimos de km/h). Então o resultado é robusto.

Resposta

\displaystyle 21{,}5\\ \text{km/h}

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