UFPB - Universidade Federal da Paraíba
CEAR - Centro de Energias Alternativas e Renováveis PPg-EE - Programa de Pós-Graduação em Eng. Elétrica Disciplina: Análise de Sinais e Sistemas
Professor: Waslon Terllizzie Araújo Lopes
1 ^ a Lista de Exercícios: Semestre 2025.1
Suponha que
e x(t)= 1, & 0 <= t <= 1 0, & caso contrário , sendo h(t)=x(t / alpha).
Determine e esboce o sinal 0;

Passo 1

O exercício diz que temos dois sinais em tempo contínuo:
x(t)= 1, & 0<= t<=1, 0, & caso contrário, h(t)=xl(tfrac talphar), 0á
Precisamos encontrar o convolução y(t)=integral-infty^inftyx(tau),h(t-tau),dtau e desenhar seu gráfico. O conteúdo é “convolução de sinais contínuos”: vamos usar a definição
e depois estudar pra quais esse integral é não-zero.

Passo 2

Primeiro, entendendo h(t)= 1, &0<= t<=alpha, 0, &caso contrário :
  • se , então
  • se , ou seja .
    Fora desse intervalo .
    Resumindo:
á

Passo 3

Agora, pela definição de convolução:
y(t) =integral-infty^inftyx(tau),h(t-tau),dtau =integral0^11cdot h(t-tau),dtau
porque y(t)=integral0^1h(t-tau),dtau só vale 1 quando . Então

Passo 4

Para 0<= t-tau<=alpha Leftrightarrow t-alpha<=tau<= t ser 1, precisamos
y(t)=medidal([0,1]cap[t-alpha,,t]r)
Então o integrando vale 1 quando está na interseção dos intervalos e . Logo

Passo 5

Vamos ver em quais faixas de essa interseção é não-vazia e calcular seu tamanho:
  1. : ambos os intervalos não se sobrepõem ⇒ .
  2. :
    • cruza só em .
    • Comprimento = .
  3. :
    • .
    • Comprimento = .
  4. :
    • vai de até , cruza em .
    • Comprimento = .
  5. : sem sobreposição ⇒ .

Passo 6

Juntando tudo, temos
y(t)= 0, & t<0, t, & 0<= t1+alpha
Esse é um pulso trapezoidal que cresce linear até , fica constante em até , e cai linear até zero em .

Resposta

boxed y(t)= 0, & t<0, t, & 0<= t1+alpha
Gráfico: rampa subindo de 0 a , topo plano até , rampa descendo até .

Exercícios relacionados