UFPB - Universidade Federal da Paraíba
CEAR - Centro de Energias Alternativas e Renováveis PPg-EE - Programa de Pós-Graduação em Eng. Elétrica Disciplina: Análise de Sinais e Sistemas
Professor: Waslon Terllizzie Araújo Lopes
1 ^ a Lista de Exercícios: Semestre 2025.1
Os sinais discretos x[n] e h[n] são dois pulsos causais de amplitude 1 com duração NX e NH, respectivamente. Assim, x[n]=1, para n=0,1, ldots, NX-1 e h[n]=1, para n=0,1, ldots, NH-1.
Esboce o gráfico de y[n] considerando NX=3 e NH=6.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. Temos dois sinais discretos, ambos “pulsos” causais de amplitude 1:
  • x[n]=1 para n=0,1,…,N_X−1 e zero caso contrário;
  • h[n]=1 para n=0,1,…,N_H−1 e zero caso contrário.
A questão é achar e esboçar y[n], que é a convolução de x[n] com h[n], usando N_X=3 e N_H=6.
Isso cai na matéria de Análise de Sinais e Sistemas, no tópico “convolução de sinais discretos”. Para resolver, precisamos:
  1. saber a definição de convolução discreta: y[n]=sumk=-infty^inftyx[k],h[n-k],
    2) entender que por serem pulsos finitos só há soma em faixas limitadas de k,
    3) determinar o suporte (onde y[n]≠0) e calcular valor a valor.

Passo 2

Primeiro, escrevemos x[n] e h[n] explicitamente:
x[n]= 1,&n=0,1,20,&caso contrárioá
h[n]= 1,&n=0,1,2,3,4,50,&caso contrárioá
Então
y[n]=sumk=-infty^inftyx[k],h[n-k];=;sumk=0^21cdot h[n-k],
pois x[k] só é 1 para k=0,1,2.

Passo 3

Para cada n, temos que contar quantos termos de h[n−k] caem dentro de 0≤n−k≤5.
Ou seja, k deve satisfazer simultaneamente
0≤k≤2 e 0≤n−k≤5 ⇔ n−5≤k≤n.
Logo k varia de max(0,n−5) até min(2,n). O número de termos (cada um valendo 1×1) é
y[n]=#k:max(0,n−5)<= k<=min(2,n);=;min(2,n);-;max(0,n−5);+;1,
sempre que esse valor for positivo; caso contrário y[n]=0.

Passo 4

Agora vamos tabular y[n] para n iniciando em 0 até N_X+N_H−2 = 3+6−2=7:
n = 0 ⇒ k vai de max(0,−5)=0 até min(2,0)=0 ⇒ 1 termo ⇒ y[0]=1
n = 1 ⇒ k de 0 a 1 ⇒ 2 termos ⇒ y[1]=2
n = 2 ⇒ k de 0 a 2 ⇒ 3 termos ⇒ y[2]=3
n = 3 ⇒ k de 0 a 2 ⇒ 3 termos ⇒ y[3]=3
n = 4 ⇒ k de 0 a 2 ⇒ 3 termos ⇒ y[4]=3
n = 5 ⇒ k de 0 a 2 ⇒ 3 termos ⇒ y[5]=3
n = 6 ⇒ k de 1 a 2 ⇒ 2 termos ⇒ y[6]=2
n = 7 ⇒ k de 2 a 2 ⇒ 1 termo ⇒ y[7]=1
Para n<0 ou n>7, y[n]=0.

Passo 5

Se você desenhar esses pontos (n em eixo horizontal e y[n] no vertical), vai ficar uma “rampa” subindo 1,2,3, bate em platô de três valores iguais (3) e depois desce 2,1. É o típico triângulo com “topo achatado” porque N_X<N_H.

Resposta

y[n] é dada por
y[n]= n+1,&n=0,1,2, 3,&n=3,4,5, 8-(n),&n=6,7, 0,&caso contrário á
Ou, em forma de vetor de valores de n=0 até 7:
[1,,2,,3,,3,,3,,3,,2,,1].

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