(UFCE) Uma bola é lançada com velocidade de
a
. Qual a altura máxima?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede a altura máxima alcançada pela bola:
- Velocidade inicial:
. - Ângulo de lançamento com a horizontal:
.
O que se pede: a altura máxima (distância vertical máxima em relação ao ponto de lançamento).
Passo 2
Entender a física básica envolvida (de forma simples): ao lançar uma bola obliquamente, a velocidade inicial pode ser decomposta em duas componentes:
- componente horizontal
, que não influencia a altura máxima (quando desprezamos resistência do ar); - componente vertical
, que determina até que altura a bola sobe.
A decomposição é dada por:
Aqui
é a velocidade inicial,
o ângulo de lançamento, e
é a velocidade inicial na direção vertical (para cima).
Passo 3
Fórmula útil para altura máxima: usando as equações do movimento uniformemente acelerado na vertical (aceleração
, para baixo), uma relação conveniente é a equação cinemática que liga velocidades e deslocamento vertical:
onde
é a velocidade vertical num instante,
a velocidade vertical inicial,
a posição vertical,
a posição inicial, e
a aceleração da gravidade (positiva; o sinal já está em
porque a aceleração é para baixo).
No ponto de altura máxima a velocidade vertical é zero:
. Tomando
como referência no lançamento e chamando a altura máxima de
(ou seja
), obtemos:
Isso é intuitivo: quanto maior a componente vertical inicial, maior a altura; quanto maior
, menor a altura.
Passo 4
Calcular a componente vertical
. Usando a decomposição:
Aqui
e
. Saber um valor trigonométrico básico:
. Então
Explicando rápido:
vale
porque em um triângulo isósceles retângulo a razão cateto/hipotenusa é igual a essa.
Passo 5
Substituir
na fórmula da altura:
Calculemos o numerador com calma:
Logo
Esta expressão é o resultado exato em função de
. É um jeito elegante de ver o que dependerá do valor que se adote para a gravidade.
Passo 6
Escolha do valor de
: em muitos exercícios de prova usa-se
para simplificar as contas (e fica um número inteiro), enquanto que o valor mais preciso é
. Vou adotar
— se a sua prova pede aproximação com
basta substituir na expressão
.
Com
,
Passo 7
Interpretação e checagem rápida: a componente vertical inicial foi
. Uma estimativa mental: subir com ~28 m/s contra
leva tempo até parar
, e a altura média durante a subida é metade da altura máxima, então
— bate com o resultado exato obtido.