(UFCE) Uma bola é lançada com velocidade de 40 \mathrm{~m} / \mathrm{s} a 45^{\circ}. Qual a altura máxima?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a altura máxima alcançada pela bola:
  • Velocidade inicial: v_0 = 40\\ \mathrm{m/s}.
  • Ângulo de lançamento com a horizontal: \theta = 45^\circ.
    O que se pede: a altura máxima (distância vertical máxima em relação ao ponto de lançamento).

Passo 2

Entender a física básica envolvida (de forma simples): ao lançar uma bola obliquamente, a velocidade inicial pode ser decomposta em duas componentes:
  • componente horizontal v_{0x}, que não influencia a altura máxima (quando desprezamos resistência do ar);
  • componente vertical v_{0y}, que determina até que altura a bola sobe.
A decomposição é dada por:
v_{0x} = v_0 \cos\theta,\qquad v_{0y} = v_0 \sin\theta.
Aqui v_0 é a velocidade inicial, \theta o ângulo de lançamento, e v_{0y} é a velocidade inicial na direção vertical (para cima).

Passo 3

Fórmula útil para altura máxima: usando as equações do movimento uniformemente acelerado na vertical (aceleração -g, para baixo), uma relação conveniente é a equação cinemática que liga velocidades e deslocamento vertical:
v_y^2 = v_{0y}^2 - 2g (y - y_0),
onde v_y é a velocidade vertical num instante, v_{0y} a velocidade vertical inicial, y a posição vertical, y_0 a posição inicial, e g a aceleração da gravidade (positiva; o sinal já está em -2g porque a aceleração é para baixo).
No ponto de altura máxima a velocidade vertical é zero: v_y = 0. Tomando y_0=0 como referência no lançamento e chamando a altura máxima de h (ou seja y=h), obtemos:
0 = v_{0y}^2 - 2g h \quad\Rightarrow\quad h = \frac{v_{0y}^2}{2g}.
Isso é intuitivo: quanto maior a componente vertical inicial, maior a altura; quanto maior g, menor a altura.

Passo 4

Calcular a componente vertical v_{0y}. Usando a decomposição:
v_{0y} = v_0 \sin\theta.
Aqui v_0=40\\ \mathrm{m/s} e \theta=45^\circ. Saber um valor trigonométrico básico: \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}. Então
v_{0y} = 40 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 40\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} = 20\sqrt{2}\\ \mathrm{m/s}.
Explicando rápido: \sin 45^\circ vale \sqrt{2}/2 porque em um triângulo isósceles retângulo a razão cateto/hipotenusa é igual a essa.

Passo 5

Substituir v_{0y} na fórmula da altura:
h = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{(20\sqrt{2})^2}{2g}.
Calculemos o numerador com calma:
(20\sqrt{2})^2 = 20^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 400 \cdot 2 = 800.
Logo
h = \frac{800}{2g} = \frac{400}{g}.
Esta expressão é o resultado exato em função de g. É um jeito elegante de ver o que dependerá do valor que se adote para a gravidade.

Passo 6

Escolha do valor de g: em muitos exercícios de prova usa-se g=10\\ \mathrm{m/s^2} para simplificar as contas (e fica um número inteiro), enquanto que o valor mais preciso é g\approx 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}. Vou adotar g=10\\ \mathrm{m/s^2} — se a sua prova pede aproximação com g=9{,}8 basta substituir na expressão \dfrac{400}{g}.
Com g=10\\ \mathrm{m/s^2},
h = \frac{400}{10} = 40\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação e checagem rápida: a componente vertical inicial foi 20\sqrt{2}\approx 28{,}3\\ \mathrm{m/s}. Uma estimativa mental: subir com ~28 m/s contra g\approx10 leva tempo até parar t\approx v_{0y}/g \approx 2{,}83\\ \mathrm{s}, e a altura média durante a subida é metade da altura máxima, então h\approx v_{0y}\cdot t/2 \approx 28{,}3\cdot 1{,}415\approx 40\\ \mathrm{m} — bate com o resultado exato obtido.

Resposta

40\\ \mathrm{m}

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