(UFRJ) Dois jogadores de futebol-de-botão disputam um desafio em 75 partidas. Nas 35 partidas iniciais o vencedor ganha 3 pontos e nas 40 partidas restantes o vencedor ganha 1 ponto. O perdedor não ganha ponio e nenhuma partida pode terminar empatada. Um dos jogadores ganhou 19 das 35 partidas iniciais. Calcule o número mínimo de partidas que esse jogador ainda deve ganhar para ser campeāo do desafio.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Total de partidas: 75.
  • Das primeiras 35 partidas, o vencedor ganha 3 pontos por partida; o perdedor ganha 0.
  • Das últimas 40 partidas, o vencedor ganha 1 ponto por partida; o perdedor ganha 0.
  • Não há empates: em cada partida um dos dois ganha.
  • Um dos jogadores (chamo de A) ganhou 19 das primeiras 35 partidas.
  • O que o problema pede: calcular o número mínimo de partidas das últimas 40 que A ainda deve ganhar para ser campeão (isto é, terminar com mais pontos que o adversário).

Passo 2

Estratégia (explicação do porquê): para ter a garantia de ser campeão precisamos considerar o pior caso favorável ao adversário — isto é, assumir que nas partidas que A não ganhar, o adversário ganha todas. Assim, se A ganhar x das últimas 40 partidas, o adversário ganha as outras 40-x. Trabalhar esse caso dá o número mínimo de vitórias que A precisa para terminar com mais pontos.

Passo 3

Calcular os pontos já ganhos por A e pelo adversário nas primeiras 35 partidas.
  • A ganhou 19 partidas de 3 pontos cada, então os pontos de A nas primeiras 35 são 19\cdot 3.
  • Como não há empates, o adversário B ganhou as 35-19=16 partidas restantes, então os pontos de B nas primeiras 35 são 16\cdot 3.
Vamos calcular:
19\cdot 3 = 57, \qquad 16\cdot 3 = 48.
Portanto, após as primeiras 35 partidas A tem 57 pontos e B tem 48 pontos.

Passo 4

Definir variável e expressar as pontuações finais em função dela.
  • Seja x o número de vitórias de A nas últimas 40 partidas (então 0\le x\le 40 e x é inteiro).
  • Cada vitória nessas 40 vale 1 ponto. Então os pontos adicionais de A serão x.
  • O adversário B vencerá as outras 40-x partidas, ganhando 40-x pontos adicionais.
Assim as pontuações finais serão:
\text{Pontos finais de }A = 57 + x,
\text{Pontos finais de }B = 48 + (40 - x).
Simplificando a expressão de B:
48 + (40 - x) = 88 - x.

Passo 5

Montar e resolver a desigualdade para garantir que A seja campeão (ter mais pontos que B).
Queremos:
57 + x > 88 - x.
Somando x aos dois lados e subtraindo 57:
2x > 31.
Dividindo por 2:
x > 15{,}5.
Como x é número inteiro de partidas, o menor inteiro estritamente maior que 15{,}5 é x=16.

Passo 6

Checagem rápida para ter certeza:
  • Se x=16, então A tem 57+16=73 pontos e B tem 88-16=72. A fica à frente por 1 ponto.
  • Se x=15, então A tem 57+15=72 pontos e B tem 88-15=73. A perde por 1 ponto.
    Portanto 16 vitórias nas últimas 40 é realmente o mínimo necessário.

Passo 7

Resumo final (motivação amigável): pensa assim — A já tem vantagem de 9 pontos ( 57 contra 48), mas nas últimas 40 partidas o adversário pode conquistar até 40 pontos se ganhar todas. Para virar esse possível saldo é preciso que A conquiste pelo menos 16 dessas partidas. Dá para fazer: força aí, foco nas próximas partidas!

Resposta

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