(UFRJ) Dois jogadores de futebol-de-botão disputam um desafio em 75 partidas. Nas 35 partidas iniciais o vencedor ganha 3 pontos e nas 40 partidas restantes o vencedor ganha 1 ponto. O perdedor não ganha ponio e nenhuma partida pode terminar empatada. Um dos jogadores ganhou 19 das 35 partidas iniciais. Calcule o número mínimo de partidas que esse jogador ainda deve ganhar para ser campeāo do desafio.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Total de partidas:
. - Das primeiras
partidas, o vencedor ganha pontos por partida; o perdedor ganha . - Das últimas
partidas, o vencedor ganha ponto por partida; o perdedor ganha . - Não há empates: em cada partida um dos dois ganha.
- Um dos jogadores (chamo de
) ganhou das primeiras partidas. - O que o problema pede: calcular o número mínimo de partidas das últimas
que ainda deve ganhar para ser campeão (isto é, terminar com mais pontos que o adversário).
Passo 2
Estratégia (explicação do porquê): para ter a garantia de ser campeão precisamos considerar o pior caso favorável ao adversário — isto é, assumir que nas partidas que
não ganhar, o adversário ganha todas. Assim, se
ganhar
das últimas
partidas, o adversário ganha as outras
. Trabalhar esse caso dá o número mínimo de vitórias que
precisa para terminar com mais pontos.
Passo 3
Calcular os pontos já ganhos por
e pelo adversário nas primeiras
partidas.
-
ganhou partidas de pontos cada, então os pontos de nas primeiras são . - Como não há empates, o adversário
ganhou as partidas restantes, então os pontos de nas primeiras são .
Vamos calcular:
Portanto, após as primeiras
partidas
tem
pontos e
tem
pontos.
Passo 4
Definir variável e expressar as pontuações finais em função dela.
- Seja
o número de vitórias de nas últimas partidas (então e é inteiro). - Cada vitória nessas
vale ponto. Então os pontos adicionais de serão . - O adversário
vencerá as outras partidas, ganhando pontos adicionais.
Assim as pontuações finais serão:
Simplificando a expressão de
:
Passo 5
Montar e resolver a desigualdade para garantir que
seja campeão (ter mais pontos que
).
Queremos:
Queremos:
Somando
aos dois lados e subtraindo
:
Dividindo por
:
Como
é número inteiro de partidas, o menor inteiro estritamente maior que
é
.
Passo 6
Checagem rápida para ter certeza:
- Se
, então tem pontos e tem . fica à frente por ponto. - Se
, então tem pontos e tem . perde por ponto.
Portantovitórias nas últimas é realmente o mínimo necessário.
Passo 7
Resumo final (motivação amigável): pensa assim —
já tem vantagem de
pontos (
contra
), mas nas últimas
partidas o adversário pode conquistar até
pontos se ganhar todas. Para virar esse possível saldo é preciso que
conquiste pelo menos
dessas partidas. Dá para fazer: força aí, foco nas próximas partidas!