(UFRS) Os ponteiros de um relógio marcam duas horas e vinte minutos. O menor ângulo entre os ponteiros é
a) 45^{\circ}
b) 50^{\circ}
c) 55^{\circ}
d) 60^{\circ}
e) 65^{\circ}

Passo 1

O enunciado diz que o relógio marca 2{:}20 e pede o menor ângulo entre os ponteiros. Informações relevantes dadas:
  • Hora: 2 horas e 20 minutos (vou usar H=2 e M=20).
  • Queremos o menor ângulo entre o ponteiro das horas e o das minutos (entre 0^\circ e 180^\circ).
  • Alternativas: a)\\\ 45^\circ, b)\\\ 50^\circ, \text{©}\ 55^\circ), d)\\\ 60^\circ, e)\\\ 65^\circ.

Passo 2

Entendendo como medir a posição dos ponteiros (a ideia importante):
  • Medimos ângulos a partir do ponto das 12 horas no sentido horário.
  • O ponteiro dos minutos percorre 360^\circ em 60 minutos, logo sua velocidade angular é
\frac{360^\circ}{60\\ \text{min}} = 6^\circ/\text{min}.
  • O ponteiro das horas percorre 360^\circ em 12 horas, ou seja 30^\circ por hora. Em minutos é
\frac{30^\circ}{60\\ \text{min}} = 0{,}5^\circ/\text{min}.
  • Fórmula prática para os ângulos a partir das 12:
\theta_{\text{min}} = 6M,\qquad \theta_{\text{hora}} = 30H + 0{,}5M,
onde H é a hora (no sistema de 12 h) e M os minutos.

Passo 3

Calcular a posição do ponteiro dos minutos em 2{:}20:
\theta_{\text{min}} = 6M = 6\cdot 20 = 120^\circ.
Explicação rápida: aos 20 minutos o ponteiro dos minutos está em \tfrac{20}{60} de uma volta, ou 120^\circ.

Passo 4

Calcular a posição do ponteiro das horas em 2{:}20:
\theta_{\text{hora}} = 30H + 0{,}5M = 30\cdot 2 + 0{,}5\cdot 20 = 60 + 10 = 70^\circ.
Observação: o ponteiro das horas não fica exatamente em 2 quando há minutos; ele avança conforme os minutos (por isso o termo 0{,}5M).

Passo 5

Calcular o ângulo entre os ponteiros e escolher o menor ângulo:
\Delta = \bigl|\theta_{\text{min}} - \theta_{\text{hora}}\bigr| = |120^\circ - 70^\circ| = 50^\circ.
Como o outro ângulo suplementar seria 360^\circ - 50^\circ = 310^\circ, o menor ângulo é 50^\circ.

Passo 6

Compare com as alternativas: 50^\circ corresponde à alternativa b.

Resposta

b) 50^\circ

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