(ENEM) Um cientista, em seus estudos para modelar a pressão arterial de uma pessoa, utiliza uma função do tipo P(t)=A+B \cos (k t) em que A, B e k são constantes reais positivas e t representa a variável tempo, medida em segundo. Considere que um batimento cardíaco representa o intervalo de tempo entre duas sucessivas pressões máximas.
Ao analisar um caso específico, o cientista obteve os dados: Pressão mínima 78, pressão máxima 120, número de batimentos cardíacos por minuto 90 .
A função \mathrm{P}(\mathrm{t}) obtida, por este cientista, ao analisar o caso específico foi
a) P(t)=99+21 \cos (3 \pi t)
b) P(t)=78+42 \cos (3 \pi t)
c) P(t)=99+21 \cos (2 \pi t)
d) P(t)=99+21 \cos (t)
e) P(t)=78+42 \cos (t)

Passo 1

O enunciado nos dá uma função do tipo P(t)=A+B\cos(kt) com A,B,k>0 e pede qual das alternativas corresponde ao caso em que: pressão mínima 78, pressão máxima 120 e número de batimentos por minuto 90.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\;P_{\min}=78
\;P_{\max}=120
\;batimentos por minuto =90 (tempo em segundos é a unidade de t).

Passo 2

Entender como A e B se relacionam com os extremos da função. A função P(t)=A+B\cos(kt) atinge máximo quando \cos(kt)=1 e mínimo quando \cos(kt)=-1. Portanto:
P_{\max}=A+B
P_{\min}=A-B

Passo 3

Resolver o sistema para A e B. Somando as duas equações:
P_{\max}+P_{\min}=(A+B)+(A-B)=2A.
Logo
A=\frac{P_{\max}+P_{\min}}{2}.
Substituindo os valores P_{\max}=120 e P_{\min}=78:
A=\frac{120+78}{2}=\frac{198}{2}=99.
Para B, subtraindo P_{\min} de P_{\max} ou usando B=P_{\max}-A:
B=120-99=21.

Passo 4

Determinar k a partir da frequência de batimentos. Batimentos por minuto =90 significa 90 máximos por minuto. Converter para frequência em hertz (pulsos por segundo):
f=\frac{90}{60}=1,5\\ \text{Hz}.
Período T é o tempo entre máximos:
T=\frac{1}{f}=\frac{1}{1,5}=\frac{2}{3}\\ \text{segundos}.

Passo 5

Relacionar o período T com k. A função \cos(\theta) tem período 2\pi em \theta, então para \cos(kt) vale kT=2\pi. Portanto
k=\frac{2\pi}{T}.
Substituindo T=\tfrac{2}{3}:
k=\frac{2\pi}{2/3}=2\pi\cdot\frac{3}{2}=3\pi.

Passo 6

Montar a função com os parâmetros encontrados: A=99, B=21, k=3\pi. Assim
P(t)=99+21\cos(3\pi t).
Comparando com as alternativas, isso corresponde à alternativa (a).

Resposta

a) P(t)=99+21\cos(3\pi t)

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