(ENEM) Um satélite de telecomunicações,
minutos após ter atingido sua órbita, está a
quilômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o valor de
em função de
seja dado por
Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de
, no apogeu e no perigeu, representada por S .
O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de
a) 12765 km .
b) 12000 km .
c) 11730 km .
d) 10965 km .
e) 5865 km .
a) 12765 km .
b) 12000 km .
c) 11730 km .
d) 10965 km .
e) 5865 km .
Passo 1
O enunciado dá a função do raio
em função do tempo
:
O problema pede: calcular a soma
dos valores de
no apogeu (valor máximo de
) e no perigeu (valor mínimo de
). Ou seja, encontrar
Passo 2
Entendendo o comportamento da função: a parte trigonométrica é
. Lembre-se da propriedade básica do cosseno: o cosseno varia entre
e
. Em notação,
Isso é importante porque a única parte que varia com
está no denominador
. Vou usar essa propriedade para encontrar os valores mínimo e máximo do denominador e, consequentemente, do numerador dividido por ele.
Passo 3
Relação monotônica entre
e o denominador: o numerador
é positivo e fixo. Portanto,
é maior quando o denominador é menor e
é menor quando o denominador é maior. Assim:
- Para obter
(apogeu) precisamos do menor valor do denominador. - Para obter
(perigeu) precisamos do maior valor do denominador.
Passo 4
Calcular os extremos do denominador usando os extremos do cosseno.
- Se
, então o denominador é
Esse é o menor denominador, portanto dá o apogeu.
- Se
, então o denominador é
Esse é o maior denominador, portanto dá o perigeu.
Passo 5
Calcular
e
com contas bem mastigadas (sem calculadora):
Primeiro note que e
. Isso facilita porque
Primeiro note que
Então
Vamos simplificar
. Calculando:
logo
. Portanto
Agora o perigeu:
Calculando
:
logo
. Portanto
Passo 6
Somar os dois valores para obter
:
Pronto — apesar de parecer muita coisa, foi só usar que
varia entre
e
e manipular frações. Você conseguiu!