(ENEM) Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido sua órbita, está a r quilômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por
r(t)=\frac{5865}{1+0,15 \cdot \cos (0,06 t)}
Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S .
O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de
a) 12765 km .
b) 12000 km .
c) 11730 km .
d) 10965 km .
e) 5865 km .

Passo 1

O enunciado dá a função do raio r em função do tempo t:
r(t)=\frac{5865}{1+0,15\cdot\cos(0,06t)}.
O problema pede: calcular a soma S dos valores de r no apogeu (valor máximo de r) e no perigeu (valor mínimo de r). Ou seja, encontrar
S = r_{\text{apogeu}} + r_{\text{perigeu}}.

Passo 2

Entendendo o comportamento da função: a parte trigonométrica é \cos(0,06t). Lembre-se da propriedade básica do cosseno: o cosseno varia entre -1 e 1. Em notação,
-1 \le \cos(0,06t) \le 1.
Isso é importante porque a única parte que varia com t está no denominador 1+0,15\cdot\cos(0,06t). Vou usar essa propriedade para encontrar os valores mínimo e máximo do denominador e, consequentemente, do numerador dividido por ele.

Passo 3

Relação monotônica entre r e o denominador: o numerador 5865 é positivo e fixo. Portanto, r(t) é maior quando o denominador é menor e r(t) é menor quando o denominador é maior. Assim:
  • Para obter r_{\text{máx}}á (apogeu) precisamos do menor valor do denominador.
  • Para obter r_{\text{mín}}í (perigeu) precisamos do maior valor do denominador.

Passo 4

Calcular os extremos do denominador usando os extremos do cosseno.
  • Se \cos(0,06t)=-1, então o denominador é
1+0,15\cdot(-1)=1-0,15=0,85.
Esse é o menor denominador, portanto dá o apogeu.
  • Se \cos(0,06t)=1, então o denominador é
1+0,15\cdot 1=1+0,15=1,15.
Esse é o maior denominador, portanto dá o perigeu.

Passo 5

Calcular r_{\text{apogeu}} e r_{\text{perigeu}} com contas bem mastigadas (sem calculadora):
Primeiro note que 0,85=\dfrac{17}{20} e 1,15=\dfrac{23}{20}. Isso facilita porque
\frac{1}{0,85}=\frac{20}{17},\qquad \frac{1}{1,15}=\frac{20}{23}.
Então
r_{\text{apogeu}}=\frac{5865}{0,85}=5865\cdot\frac{20}{17}.
Vamos simplificar 5865\div 17. Calculando:
17\cdot 345 = 17\cdot 300 + 17\cdot 45 = 5100 + 765 = 5865,
logo 5865\div 17=345. Portanto
r_{\text{apogeu}}=345\cdot 20=6900\\ \text{km}.
Agora o perigeu:
r_{\text{perigeu}}=\frac{5865}{1,15}=5865\cdot\frac{20}{23}.
Calculando 5865\div 23:
23\cdot 255 = 23\cdot 200 + 23\cdot 55 = 4600 + 1265 = 5865,
logo 5865\div 23=255. Portanto
r_{\text{perigeu}}=255\cdot 20=5100\\ \text{km}.

Passo 6

Somar os dois valores para obter S:
S = r_{\text{apogeu}} + r_{\text{perigeu}} = 6900 + 5100 = 12000\\ \text{km}.
Pronto — apesar de parecer muita coisa, foi só usar que \cos varia entre -1 e 1 e manipular frações. Você conseguiu!

Resposta

12000\\ \text{km}

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