A variação da pressão sanguínea P( em mmHg ) de um certo indivíduo, em função do tempo t( em s ), é uma função cíclica, dada pela lei P(t)=100-20 \cos (8 \pi / 3 \cdot t) sendo que a cada ciclo completo (período) equivale a um batimento cardíaco.
A. Qual o intervalo de tempo de um batimento cardíaco desse indivíduo?
B. Quantos batimentos cardíacos esse indivíduo tem por minuto?

Passo 1

O enunciado dá a variação da pressão sanguínea por função do tempo:
P(t)=100-20\cos\!\left(\frac{8\pi}{3}\,t\right),
onde P está em mmHg e t em s. Diz também que cada ciclo completo (período) dessa função corresponde a um batimento cardíaco.
As perguntas são:
A. Qual o intervalo de tempo de um batimento cardíaco (ou seja, qual é o período)?
B. Quantos batimentos cardíacos esse indivíduo tem por minuto?

Passo 2

Entendendo o que é período e frequência para funções cíclicas senoidais (uma mini-aula):
  • Para uma função do tipo \cos(\omega t+\varphi) ou \sin(\omega t+\varphi), o parâmetro \omega é a frequência angular, medida em rad/s.
  • O período T é o tempo que leva para a função completar um ciclo inteiro (voltar ao mesmo valor e mesma fase). A relação entre \omega e T é
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Aqui cada período corresponde exatamente a um batimento cardíaco (informação do enunciado).

Passo 3

Identificar \omega no enunciado: a função é \cos\!\left(\dfrac{8\pi}{3}\,t\right). Logo a frequência angular é
\omega=\frac{8\pi}{3}\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Aplicar a fórmula do período T=\dfrac{2\pi}{\omega}. Substituindo \omega=\dfrac{8\pi}{3} obtemos:
T=\frac{2\pi}{\dfrac{8\pi}{3}}.
Agora simplificamos passo a passo: primeiro escrevemos a divisão como multiplicação pelo inverso,
T=2\pi\cdot\frac{3}{8\pi}.
Cancelamos o \pi (porque \pi/\pi=1):
T=2\cdot\frac{3}{8}.
Multiplicando numeradores e denominadores:
T=\frac{6}{8}.
Reduzindo a fração pelo fator 2:
T=\frac{3}{4}\\ \text{s}.
Se preferir em forma decimal:
T=0,75\\ \text{s}.

Passo 5

Interpretação para a letra A: cada período equivale a um batimento cardíaco, então o intervalo de tempo de um batimento é T=\dfrac{3}{4}\\ \text{s} (ou 0,75\\ \text{s}).

Passo 6

Agora fazemos a letra B: queremos batimentos por minuto. Primeiro encontramos a frequência em Hz (batimentos por segundo):
f=\frac{1}{T}=\frac{1}{\tfrac{3}{4}}=\frac{4}{3}\\ \text{Hz}.
Para converter para batimentos por minuto multiplicamos por 60:
\text{batimentos por minuto} = 60\cdot f = 60\cdot\frac{4}{3}.
Fazendo a conta:
60\cdot\frac{4}{3}=20\cdot 4=80.
Logo o indivíduo tem 80 batimentos por minuto.

Passo 7

Recapitulando de forma simples: usamos a relação T=2\pi/\omega para obter o período da oscilação dada por \cos\!\left(\frac{8\pi}{3}t\right), depois convertimos frequência para batimentos por minuto. Se quiser praticar: para \cos(2\pi f t) o período é T=1/f; aqui a forma estava em \omega t, por isso usei T=2\pi/\omega. Vai dar tudo certo na prova — respira fundo, você consegue!

Resposta

A: \dfrac{3}{4}\\ \text{s} = 0,75\\ \text{s}
B: 80 batimentos por minuto

Exercícios relacionados