(UFSCar-SP) No dia do pagamento, Rita e Luís compraram, cada um, x CDs e y DVDs em uma loja ( x \neq 0 e y \neq 0 ). Cada CD comprado por Rita custou R \ 20,00 . e cada DVD comprado por ela custou\mathrm{R} $30,00 . Cada CD comprado por Luís custou R\í15,00 e cada DVD custou Preais ( P \neq 0). Sabe-se que essa foi a unica compra que Rita e Luis fizeram na loja, gastando \mathrm{R} \150,00 eQ reais(Q \neq 0)$, respectivamente.
a) Determine o par ordenado ( x, y ) da solução do problema, quando x \neq y.
b) Se o preço de cada DVD comprado por Luís corresponde a 20% do seu gasto total na loja, determine P e Q quando a solução do problema é x=y.

Passo 1

O enunciado envolve uma compra de x CDs e y DVDs por Rita e Luís. Para Rita cada CD custa R$20 e cada DVD custa R$ 30, e ela gasta R$150. Para Luís cada CD custa R$ 15 e cada DVD custa P reais, totalizando gasto Q. Vamos traduzir isso em equações lineares e resolver em inteiros positivos.

Passo 2

A equação de Rita é
20x + 30y = 150,
que simplifica para
2x + 3y = 15.
Procuramos soluções inteiras positivas. De 2x + 3y = 15 segue 2x \equiv 0\pmod3, logo x=3k. Substituindo:
2\,(3k) + 3y = 15 \quad\Longrightarrow\quad y = 5 - 2k.
Para x,y>0 e inteiros, k=1 (x,y)=(3,3) e k=2 (x,y)=(6,1). Descartamos (3,3) pois aí x=y. Logo, com x\neq y, a única solução é
(x,y)=(6,1).

Passo 3

Agora impomos x=y. Pela equação de Rita 2x+3x=15, isto é 5x=15, daí
x=y=3.

Passo 4

Para Luís, o gasto total é
Q = 15x + P\,y = 15\cdot 3 + P\cdot 3 = 3\,(15 + P).
Além disso, foi dado que o preço do DVD P corresponde a 20 % do gasto total Q, ou seja
P = 0{,}2\,Q = 0{,}2 \times 3\,(15 + P).
Isso gera
P = 0{,}6\,(15 + P) \quad\Longrightarrow\quad P = 9 + 0{,}6P \quad\Longrightarrow\quad 0{,}4P = 9 \quad\Longrightarrow\quad P = 22{,}50.
Então
Q = 3\,(15 + 22{,}50) = 3 \times 37{,}50 = 112{,}50.

Resposta

a) (x,y) = (6,1)
b) P = 22{,}50 e Q = 112{,}50 reais.

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