(UFSCar-SP) Três amigos, Antônio, Bernardo e Carlos, saíram de suas casas para se encontrarem numa lanchonete. Antônio realizou metade do percurso com velocidade média de 4 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e a outra metade com velocidade média de 6 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Bernardo percorreu o trajeto com velocidade média de 4 \mathrm{~km} / \mathrm{h} durante a metade do tempo que levou para chegar à lanchonete e a outra metade do tempo fez com velocidade média de 6 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Carlos fez todo o percurso com velocidade média de 5 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Sabendo que os três saíram no mesmo instante de suas casas e percorreram exatamente as mesmas distâncias, pode-se concluir que
A) Bernardo chegou primeiro, Carlos, em segundo e Antônio, em terceiro.
B) Carlos chegou primeiro, Antônio, em segundo e Bernardo, em terceiro.
C) Antônio chegou primeiro, Bernardo, em segundo e Carlos, em terceiro.
D) Bernardo e Carlos chegaram juntos e Antônio chegou em terceiro.

Passo 1

O enunciado dá três viajantes que percorrem a mesma distância total, todos saindo ao mesmo tempo, com os seguintes detalhes:
  • Antônio: percorre metade da distância com velocidade 4\\ \mathrm{km/h} e a outra metade com velocidade 6\\ \mathrm{km/h}.
  • Bernardo: percorre metade do tempo com velocidade 4\\ \mathrm{km/h} e a outra metade do tempo com velocidade 6\\ \mathrm{km/h}.
  • Carlos: percorre toda a distância com velocidade constante 5\\ \mathrm{km/h}.
O que o enunciado pede: determinar a ordem de chegada (quem chega primeiro, segundo, terceiro) sabendo que todos percorreram exatamente a mesma distância e saíram ao mesmo instante.

Passo 2

Vamos lembrar (e usar) a relação básica entre distância, velocidade média e tempo:
\text{velocidade média} = \frac{\text{distância}}{\text{tempo}}.éâ
Dessa fórmula isolamos o tempo:
\text{tempo} = \frac{\text{distância}}{\text{velocidade}}.â
Aqui eu chamo a distância total comum percorrida por todos de D (uma letra só para representar qualquer distância; o resultado não depende do valor numérico de D). Quando o percurso é dividido em partes, o tempo total é a soma dos tempos de cada parte; quando o tempo é dividido em partes, a distância total é a soma das distâncias percorridas em cada parte.

Passo 3

Calcular o tempo total de Antônio:
  • Ele percorre metade da distância: \dfrac{D}{2} a 4\\ \mathrm{km/h}. O tempo dessa parte é
t_{A1}=\frac{D/2}{4}=\frac{D}{8}.
  • A outra metade: \dfrac{D}{2} a 6\\ \mathrm{km/h}. O tempo dessa parte é
t_{A2}=\frac{D/2}{6}=\frac{D}{12}.
  • O tempo total de Antônio é a soma:
t_A = t_{A1}+t_{A2}=\frac{D}{8}+\frac{D}{12}.
Agora somamos as frações: o denominador comum é 24,
\frac{D}{8}+\frac{D}{12}=\frac{3D}{24}+\frac{2D}{24}=\frac{5D}{24}.
Portanto
t_A=\frac{5D}{24}.

Passo 4

Calcular o tempo total de Bernardo (aqui o enunciado divide o tempo, não a distância):
  • Seja t_B o tempo total de Bernardo. Ele passou metade desse tempo com velocidade 4 e a outra metade com velocidade 6. Ou seja, em cada metade de tempo ele andou 4\cdot (t_B/2) e 6\cdot (t_B/2).
  • A distância total D é a soma dessas duas distâncias:
D = 4\cdot\frac{t_B}{2} + 6\cdot\frac{t_B}{2}.
  • Fatorando \dfrac{t_B}{2} obtemos
D = \frac{t_B}{2}(4+6)=\frac{t_B}{2}\cdot 10 = 5\,t_B.
  • Isolando t_B:
t_B = \frac{D}{5}.

Passo 5

Calcular o tempo total de Carlos:
  • Ele fez todo o percurso D com velocidade constante 5\\ \mathrm{km/h}. Pelo mesmo motivo de antes,
t_C = \frac{D}{5}.

Passo 6

Comparar os tempos encontrados:
  • Bernardo: t_B=\dfrac{D}{5}.
  • Carlos: t_C=\dfrac{D}{5}.
  • Antônio: t_A=\dfrac{5D}{24}.
Para comparar t_A com t_B (e t_C), coloca-se em denominador comum ou subtrai-se:
t_A - t_B = \frac{5D}{24} - \frac{D}{5}.
Denominador comum 120:
\frac{5D}{24} = \frac{25D}{120},\qquad \frac{D}{5}=\frac{24D}{120},
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t_A - t_B = \frac{25D}{120}-\frac{24D}{120}=\frac{D}{120}>0.
Portanto t_A>t_B. Como t_B=t_C, concluímos que Bernardo e Carlos chegam juntos (empate) e Antônio demora um pouco mais, chegando em terceiro.

Resposta

D) Bernardo e Carlos chegaram juntos e Antônio chegou em terceiro.

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