(UFSCar-SP) Três amigos, Antônio, Bernardo e Carlos, saíram de suas casas para se encontrarem numa lanchonete. Antônio realizou metade do percurso com velocidade média de
e a outra metade com velocidade média de
. Bernardo percorreu o trajeto com velocidade média de
durante a metade do tempo que levou para chegar à lanchonete e a outra metade do tempo fez com velocidade média de
. Carlos fez todo o percurso com velocidade média de
. Sabendo que os três saíram no mesmo instante de suas casas e percorreram exatamente as mesmas distâncias, pode-se concluir que
A) Bernardo chegou primeiro, Carlos, em segundo e Antônio, em terceiro.
B) Carlos chegou primeiro, Antônio, em segundo e Bernardo, em terceiro.
C) Antônio chegou primeiro, Bernardo, em segundo e Carlos, em terceiro.
D) Bernardo e Carlos chegaram juntos e Antônio chegou em terceiro.
A) Bernardo chegou primeiro, Carlos, em segundo e Antônio, em terceiro.
B) Carlos chegou primeiro, Antônio, em segundo e Bernardo, em terceiro.
C) Antônio chegou primeiro, Bernardo, em segundo e Carlos, em terceiro.
D) Bernardo e Carlos chegaram juntos e Antônio chegou em terceiro.
Passo 1
O enunciado dá três viajantes que percorrem a mesma distância total, todos saindo ao mesmo tempo, com os seguintes detalhes:
- Antônio: percorre metade da distância com velocidade
e a outra metade com velocidade . - Bernardo: percorre metade do tempo com velocidade
e a outra metade do tempo com velocidade . - Carlos: percorre toda a distância com velocidade constante
.
O que o enunciado pede: determinar a ordem de chegada (quem chega primeiro, segundo, terceiro) sabendo que todos percorreram exatamente a mesma distância e saíram ao mesmo instante.
Passo 2
Vamos lembrar (e usar) a relação básica entre distância, velocidade média e tempo:
Dessa fórmula isolamos o tempo:
Aqui eu chamo a distância total comum percorrida por todos de
(uma letra só para representar qualquer distância; o resultado não depende do valor numérico de
). Quando o percurso é dividido em partes, o tempo total é a soma dos tempos de cada parte; quando o tempo é dividido em partes, a distância total é a soma das distâncias percorridas em cada parte.
Passo 3
Calcular o tempo total de Antônio:
- Ele percorre metade da distância:
a . O tempo dessa parte é
- A outra metade:
a . O tempo dessa parte é
- O tempo total de Antônio é a soma:
Agora somamos as frações: o denominador comum é
,
Portanto
Passo 4
Calcular o tempo total de Bernardo (aqui o enunciado divide o tempo, não a distância):
- Seja
o tempo total de Bernardo. Ele passou metade desse tempo com velocidade e a outra metade com velocidade . Ou seja, em cada metade de tempo ele andou e . - A distância total
é a soma dessas duas distâncias:
- Fatorando
obtemos
- Isolando
:
Passo 5
Calcular o tempo total de Carlos:
- Ele fez todo o percurso
com velocidade constante . Pelo mesmo motivo de antes,
Passo 6
Comparar os tempos encontrados:
- Bernardo:
. - Carlos:
. - Antônio:
.
Para comparar
com
(e
), coloca-se em denominador comum ou subtrai-se:
Denominador comum
:
logo
Portanto
. Como
, concluímos que Bernardo e Carlos chegam juntos (empate) e Antônio demora um pouco mais, chegando em terceiro.
Resposta
D) Bernardo e Carlos chegaram juntos e Antônio chegou em terceiro.