(UFSM - PEIES/1996) Considere as afirmativas referentes ao sistema \left\{\begin{array}{l}x+y+2 z=1 \\\\ 3 x+0 y+2 z=0 \\\\ 0 x+y+(k+1) z=-2\end{array}\right. onde \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}, \mathrm{k} \in \Re, indicando se são verdadeiras (V) ou falsas (F).
( ) Se \mathrm{k} \neq 1 / 3, o sistema é possível e determinado.
( ) Se \mathrm{k}=1 / 3, o sistema é impossível.
As duas afirmativas a verificar são:
(1) Se \;k\neq \tfrac{1}{3}, o sistema é possível e determinado.
(2) Se \;k=\tfrac{1}{3}, o sistema é impossível.
Listei acima todas as informações relevantes: as três equações e que k é um parâmetro real. A resolução começa agora.]
Passo 2
Estratégia escolhida (explico por que): um sistema linear 3\times3 tem solução única (é possível e determinado) exatamente quando a matriz dos coeficientes tem determinante diferente de zero. Portanto vou calcular o determinante da matriz dos coeficientes e analisar o caso em que ele é zero (k=\tfrac{1}{3}) separadamente para ver se dá infinitas soluções ou incompatibilidade. Esse método é rápido e prático para questões com parâmetro.
Interpretação do determinante: se \det(A)\neq0 então o sistema tem única solução (é possível e determinado). Aqui \det(A)=1-3k, então \det(A)\neq0 quando
Logo a primeira afirmação “Se \;k\neq \tfrac{1}{3}, o sistema é possível e determinado” é verdadeira. (Explicação curta: determinante não nulo ⇒ matriz invertível ⇒ única solução.)
Passo 6
Agora trato o caso crítico \;k=\tfrac{1}{3}\). Substituo esse valor no sistema. Para \(\;k=\tfrac{1}{3}\) temos \(k+1=\tfrac{4}{3}\), então o sistema vira
\[\begin{cases} x+y+2z=1\\[4pt] 3x+2z=0\\[4pt] y+\tfrac{4}{3}z=-2 \end{cases}
Vou eliminar x\] usando a primeira e a segunda equações. Faço \(\text{(eq2)} - 3\cdot\text{(eq1)}:
Multiplico essa equação por 3 para comparar com (A):
3y+4z=-6. \tag{B}
Compare (A) e (B): (A) diz 3y+4z=3 e (B) diz 3y+4z=-6. Essas duas afirmações são contraditórias (não podem ser simultaneamente verdadeiras). Portanto o sistema, quando \;k=\tfrac{1}{3}, é incompatível (não tem solução).]
Passo 7
Conclusão lógica: para \;k\neq \tfrac{1}{3} o determinante é diferente de zero e o sistema tem solução única (possível e determinado). Para \;k=\tfrac{1}{3} o determinante é zero e o sistema é impossível (incompatível), como mostramos por eliminação.