O enunciado dá um sistema homogêneo de quatro equações lineares nas incógnitas x,y,z,t\). As equações são:
\[\begin{cases} x-y-z+t=0\\[4pt] 2x-2z+t=0\\[4pt] 3x-3y+z=0\\[4pt] -x+y+5z-4t=0 \end{cases}
O que o problema pede implicitamente é encontrar todas as soluções ((x,y,z,t)] que satisfazem essas quatro equações simultaneamente. As informações relevantes que temos são essas quatro equações (o sistema é homogêneo, isto é, o lado direito é zero em todas elas).]
Passo 2
Vamos representar o sistema por sua matriz de coeficientes (sendo que é homogêneo, não precisamos de coluna de termos independentes diferente de zero). A matriz associada é
Explico rápido: cada linha corresponde a uma equação e cada coluna a uma incógnita na ordem x,y,z,t. A ideia é usar eliminação de Gauss (operações elementares nas linhas) para triangularizar a matriz e encontrar relações entre as variáveis. Operações elementares que podemos usar: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não-nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra — tudo isso preserva o conjunto de soluções.]
Passo 3
Escolho a primeira linha como pivô (x como primeira variável pivotante). Vou eliminar x das linhas 2, 3 e 4 com operações do tipo “linha nova = linha antiga + múltiplo da linha 1”.
Aqui vemos os pivôs nas colunas de x,y,z; a coluna de t não tem pivô, ou seja, t é variável livre. Isso significa que o espaço de soluções tem dimensão 1 (uma parámetro livre).]
Passo 5
Vamos ler as equações que correspondem às linhas da matriz escalonada. Elas são:
linha 3: \;z - \tfrac{3}{4}t = 0,
linha 2: \;y - \tfrac{1}{2}t = 0,
linha 1: \;x - y - z + t = 0.
Da linha 3 obtemos
z = \tfrac{3}{4}t.
Da linha 2 obtemos
y = \tfrac{1}{2}t.
Substituímos y e z na linha 1 para achar x:
x = y + z - t = \tfrac{1}{2}t + \tfrac{3}{4}t - t.
Agora somamos as frações com denominação 4 para ficar fácil:
onde t é parâmetro livre, t\in\mathbb{R}. Para ficar mais bonito (sem frações) podemos parametrizar por t=4s com s\in\mathbb{R}. Substituindo t=4s obtemos
(x,y,z,t)=(s,2s,3s,4s)=s(1,2,3,4).
Ou seja, o espaço de soluções é a reta gerada pelo vetor (1,2,3,4). Note que s=0 dá a solução trivial (0,0,0,0), como sempre ocorre em sistemas homogêneos.