1. (UFSM - Vestibular/1999) Considere o seguinte sistema de equações lineares:
\left\{\begin{array}{l}x-y-z+t=0 \\\ 2 x-2 z+t=0 \\\ 3 x-3 y+z=0 \\\ -x+y+5 z-4 t=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema homogêneo de quatro equações lineares nas incógnitas x,y,z,t\). As equações são: \[\begin{cases} x-y-z+t=0\\[4pt] 2x-2z+t=0\\[4pt] 3x-3y+z=0\\[4pt] -x+y+5z-4t=0 \end{cases}
O que o problema pede implicitamente é encontrar todas as soluções ((x,y,z,t)] que satisfazem essas quatro equações simultaneamente. As informações relevantes que temos são essas quatro equações (o sistema é homogêneo, isto é, o lado direito é zero em todas elas).]

Passo 2

Vamos representar o sistema por sua matriz de coeficientes (sendo que é homogêneo, não precisamos de coluna de termos independentes diferente de zero). A matriz associada é
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 1\\[4pt] 2 & 0 & -2 & 1\\[4pt] 3 & -3 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 1 & 5 & -4 \end{pmatrix}.
Explico rápido: cada linha corresponde a uma equação e cada coluna a uma incógnita na ordem x,y,z,t. A ideia é usar eliminação de Gauss (operações elementares nas linhas) para triangularizar a matriz e encontrar relações entre as variáveis. Operações elementares que podemos usar: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não-nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra — tudo isso preserva o conjunto de soluções.]

Passo 3

Escolho a primeira linha como pivô ( x como primeira variável pivotante). Vou eliminar x das linhas 2, 3 e 4 com operações do tipo “linha nova = linha antiga + múltiplo da linha 1”.
Faço:
\text{R2} \leftarrow \text{R2} - 2\cdot\text{R1}, \qquad \text{R3} \leftarrow \text{R3} - 3\cdot\text{R1}, \qquad \text{R4} \leftarrow \text{R4} + \text{R1}.
Calculemos termo a termo:
Para \text{R2}-2\text{R1}:
(2,0,-2,1) -2(1,-1,-1,1) = (2-2,\;0-(-2),\;-2-(-2),\;1-2)=(0,2,0,-1).
Para \text{R3}-3\text{R1}:
(3,-3,1,0)-3(1,-1,-1,1)=(3-3,\;-3-(-3),\;1-(-3),\;0-3)=(0,0,4,-3).
Para \text{R4}+\text{R1}:
(-1,1,5,-4)+(1,-1,-1,1)=(0,0,4,-3).
Depois dessas operações a matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 4 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 4 & -3 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Observamos que as linhas 3 e 4 agora são iguais, logo uma delas é redundante. Subtraímos \text{R4}-\text{R3} para obter uma linha nula:
\text{R4}\leftarrow \text{R4}-\text{R3} \Rightarrow (0,0,0,0).
Agora a matriz é
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 4 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Para simplificar, vamos transformar as linhas com pivô em forma com 1 na posição líder (dividir por escalares):
\text{R2}\leftarrow \frac{1}{2}\text{R2}=(0,1,0,-\tfrac{1}{2}),\qquad \text{R3}\leftarrow \frac{1}{4}\text{R3}=(0,0,1,-\tfrac{3}{4}).
Assim a matriz escalonada é
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{3}{4}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Aqui vemos os pivôs nas colunas de x,y,z; a coluna de t não tem pivô, ou seja, t é variável livre. Isso significa que o espaço de soluções tem dimensão 1 (uma parámetro livre).]

Passo 5

Vamos ler as equações que correspondem às linhas da matriz escalonada. Elas são:
linha 3: \;z - \tfrac{3}{4}t = 0,
linha 2: \;y - \tfrac{1}{2}t = 0,
linha 1: \;x - y - z + t = 0.
Da linha 3 obtemos
z = \tfrac{3}{4}t.
Da linha 2 obtemos
y = \tfrac{1}{2}t.
Substituímos y e z na linha 1 para achar x:
x = y + z - t = \tfrac{1}{2}t + \tfrac{3}{4}t - t.
Agora somamos as frações com denominação 4 para ficar fácil:
\tfrac{1}{2}t = \tfrac{2}{4}t,\qquad \tfrac{3}{4}t=\tfrac{3}{4}t,\qquad t=\tfrac{4}{4}t.
Então
x = \left(\tfrac{2}{4}+\tfrac{3}{4}-\tfrac{4}{4}\right)t = \tfrac{1}{4}t.

Passo 6

Portanto todas as soluções são da forma
(x,y,z,t)=\left(\tfrac{1}{4}t,\;\tfrac{1}{2}t,\;\tfrac{3}{4}t,\;t\right),
onde t é parâmetro livre, t\in\mathbb{R}. Para ficar mais bonito (sem frações) podemos parametrizar por t=4s com s\in\mathbb{R}. Substituindo t=4s obtemos
(x,y,z,t)=(s,2s,3s,4s)=s(1,2,3,4).
Ou seja, o espaço de soluções é a reta gerada pelo vetor (1,2,3,4). Note que s=0 dá a solução trivial (0,0,0,0), como sempre ocorre em sistemas homogêneos.

Resposta

(x,y,z,t)=\lambda\big(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4},1\big),\\ \lambda\in\mathbb{R}
ou, equivalentemente,
(x,y,z,t)=s(1,2,3,4),\\ s\in\mathbb{R}

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