1. (UFSM - Vestibular/2000) Dado o sistema \left\{\begin{array}{l}x+y+z+t=2 \\\ x+y+z=0 \\\ x+y+t=1 \\\ x+z+t=2\end{array}\right. os valores de x, y, z e t, nesta ordem, que satisfazem o sistema,
    a) formam uma P.G. crescente.
    b) formam uma P.G. decrescente.
    c) formam uma P.A. decrescente.
    d) formam uma P.A. crescente.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema de quatro equações lineares com quatro incógnitas:
\begin{cases} x+y+z+t=2\\[4pt] x+y+z=0\\[4pt] x+y+t=1\\[4pt] x+z+t=2 \end{cases}
Pede-se determinar os valores de x,y,z,t e, a partir desses valores, identificar qual das alternativas a)–d) é verdadeira:
a) formam uma P.G. crescente.
b) formam uma P.G. decrescente.
c) formam uma P.A. decrescente.
d) formam uma P.A. crescente.]

Passo 2

Vamos começar a resolver o sistema. Uma estratégia direta é combinar equações para eliminar variáveis. Por exemplo, subtraindo a segunda equação da primeira obtemos t isolado. Escrevendo isso em conta:
(x+y+z+t)-(x+y+z)=2-0.
No lado esquerdo os termos x,y,z cancelam, sobrando t. No direito 2-0=2. Portanto:

Passo 3

t=2.

Passo 4

Agora use a terceira equação \;x+y+t=1\; e substitua t=2. Fazendo as contas:
x+y+2=1.
Isolando x+y,
x+y=1-2=-1.

Passo 5

Usando a segunda equação \;x+y+z=0\; e o valor encontrado para x+y, substituímos:
-1+z=0.
Isolando z,
z=1.

Passo 6

Agora use a quarta equação \;x+z+t=2\;. Substitua z=1 e t=2:
x+1+2=2.
Logo
x+3=2 \quad\Rightarrow\quad x=2-3=-1.

Passo 7

Com x=-1 e x+y=-1 encontramos y:
-1+y=-1 \quad\Rightarrow\quad y=0.

Passo 8

Resumindo os valores encontrados (e é sempre bom conferir implicitamente que satisfazem as equações):
(x,y,z,t)=(-1,\,0,\,1,\,2).
Vamos agora analisar que tipo de sequência esses quatro números formam.

Passo 9

Definições rápidas e intuitivas (para usar na prova):
  • Uma progressão aritmética (P.A.) é uma sequência em que a diferença entre termos consecutivos é constante. Se a diferença comum d>0 a P.A. é crescente; se d<0 é decrescente. Em fórmula: uma sequência (a_n) é P.A. se \;a_{n+1}-a_n=d\; para todo n.
  • Uma progressão geométrica (P.G.) é uma sequência em que a razão entre termos consecutivos é constante. Se a razão comum r>1 (e todos os termos positivos) a P.G. tende a crescer; se 0<r<1 tende a decrescer. Em fórmula: \;a_{n+1}/a_n=r\; para todo n (desde que não haja divisão por zero).

Passo 10

Verificação se é P.A.: calcule as diferenças entre termos consecutivos da sequência (-1,0,1,2):
0-(-1)=1,\quad 1-0=1,\quad 2-1=1.
As diferenças são todas iguais a 1. Logo é uma P.A. com razão comum d=1. Como d=1>0, a P.A. é crescente.

Passo 11

Verificação se é P.G. (só para confirmar que não é): calcule as razões entre termos consecutivos:
\frac{0}{-1}=0,\quad \frac{1}{0}\\ \text{(não definida)}.ã
Aqui aparece divisão por zero, o que impede a existência de uma razão comum válida para todos os pares. Portanto não é P.G.

Passo 12

Concluímos que os valores obtidos formam uma progressão aritmética crescente, isto é, alternativa d).

Resposta

d) formam uma P.A. crescente.

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