(UFSM - Vestibular/2000) Dado o sistema \left\{\begin{array}{l}x+y+z+t=2 \\\ x+y+z=0 \\\ x+y+t=1 \\\ x+z+t=2\end{array}\right. os valores de x, y, z e t, nesta ordem, que satisfazem o sistema,
a) formam uma P.G. crescente.
b) formam uma P.G. decrescente.
c) formam uma P.A. decrescente.
d) formam uma P.A. crescente.
Passo 1
O enunciado fornece o sistema de quatro equações lineares com quatro incógnitas:
Pede-se determinar os valores de x,y,z,t e, a partir desses valores, identificar qual das alternativas a)–d) é verdadeira:
a) formam uma P.G. crescente.
b) formam uma P.G. decrescente.
c) formam uma P.A. decrescente.
d) formam uma P.A. crescente.]
Passo 2
Vamos começar a resolver o sistema. Uma estratégia direta é combinar equações para eliminar variáveis. Por exemplo, subtraindo a segunda equação da primeira obtemos t isolado. Escrevendo isso em conta:
(x+y+z+t)-(x+y+z)=2-0.
No lado esquerdo os termos x,y,z cancelam, sobrando t. No direito 2-0=2. Portanto:
Passo 3
t=2.
Passo 4
Agora use a terceira equação \;x+y+t=1\; e substitua t=2. Fazendo as contas:
x+y+2=1.
Isolando x+y,
x+y=1-2=-1.
Passo 5
Usando a segunda equação \;x+y+z=0\; e o valor encontrado para x+y, substituímos:
-1+z=0.
Isolando z,
z=1.
Passo 6
Agora use a quarta equação \;x+z+t=2\;. Substitua z=1 e t=2:
x+1+2=2.
Logo
x+3=2 \quad\Rightarrow\quad x=2-3=-1.
Passo 7
Com x=-1 e x+y=-1 encontramos y:
-1+y=-1 \quad\Rightarrow\quad y=0.
Passo 8
Resumindo os valores encontrados (e é sempre bom conferir implicitamente que satisfazem as equações):
(x,y,z,t)=(-1,\,0,\,1,\,2).
Vamos agora analisar que tipo de sequência esses quatro números formam.
Passo 9
Definições rápidas e intuitivas (para usar na prova):
Uma progressão aritmética (P.A.) é uma sequência em que a diferença entre termos consecutivos é constante. Se a diferença comum d>0 a P.A. é crescente; se d<0 é decrescente. Em fórmula: uma sequência (a_n) é P.A. se \;a_{n+1}-a_n=d\; para todo n.
Uma progressão geométrica (P.G.) é uma sequência em que a razão entre termos consecutivos é constante. Se a razão comum r>1 (e todos os termos positivos) a P.G. tende a crescer; se 0<r<1 tende a decrescer. Em fórmula: \;a_{n+1}/a_n=r\; para todo n (desde que não haja divisão por zero).
Passo 10
Verificação se é P.A.: calcule as diferenças entre termos consecutivos da sequência (-1,0,1,2):
0-(-1)=1,\quad 1-0=1,\quad 2-1=1.
As diferenças são todas iguais a 1. Logo é uma P.A. com razão comum d=1. Como d=1>0, a P.A. é crescente.
Passo 11
Verificação se é P.G. (só para confirmar que não é): calcule as razões entre termos consecutivos: