1. (UFSM - Vestibular/2003) Considere o seguinte sistema de equações lineares:
\left\{\begin{array}{l} 2 x+y+4 \alpha z=4 \\ x+(1-\alpha) y+z=2 \\ 2 x+y+5 \alpha z=7 \end{array}\right.

Passo 1

Temos o sistema com parâmetro \alpha:
\left\{\begin{array}{l} 2x+y+4\alpha z=4\\[4pt] x+(1-\alpha)y+z=2\\[4pt] 2x+y+5\alpha z=7 \end{array}\right.
O que o enunciado pede (implícito): determinar as soluções (x,y,z) dependendo do valor de \alpha e classificar os casos em que o sistema é impossível, tem única solução ou infinitas soluções. As informações relevantes são as três equações acima e que \alpha é um parâmetro desconhecido.]

Passo 2

Vou eliminar termos iguais para simplificar: subtraio a primeira equação da terceira. Como as primeiras duas colunas são idênticas nas equações (1) e (3), a subtração elimina x e y. Fazendo (3)-(1) obtemos
(2x-2x) + (y-y) + (5\alpha-4\alpha)z = 7-4,
ou seja
\alpha z = 3.

Passo 3

Análise imediata do resultado \alpha z=3:
  • Se \alpha=0, a equação fica 0\cdot z = 3, ou seja 0=3, que é uma contradição. Portanto, para \alpha=0 o sistema é impossível (não tem solução).

Passo 4

Agora suponha \alpha\neq 0. Da equação \alpha z=3 segue
z=\frac{3}{\alpha}.
Substituo esse valor de z nas equações (1) e (2) para obter um sistema em x e y apenas.
Substituindo em (1):
2x+y+4\alpha\cdot\frac{3}{\alpha}=4 \quad\Rightarrow\quad 2x+y+12=4,
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2x+y=-8. \tag{A}
Substituindo em (2):
x+(1-\alpha)y+\frac{3}{\alpha}=2 \quad\Rightarrow\quad x+(1-\alpha)y=2-\frac{3}{\alpha}. \tag{B}

Passo 5

Agora resolvo o sistema linear formado por (A) e (B). Da equação (A) isolamos y:
y=-8-2x.
Substituo em (B):
x+(1-\alpha)(-8-2x)=2-\frac{3}{\alpha}.
Faço as contas passo a passo:
x-(1-\alpha)8-(1-\alpha)2x=2-\frac{3}{\alpha}.
Calculo os termos: (1-\alpha)8=8-8\alpha e (1-\alpha)2x=2x-2\alpha x. Portanto
x-(8-8\alpha)-(2x-2\alpha x)=2-\frac{3}{\alpha}.
Agrupando termos em x:
x-8+8\alpha-2x+2\alpha x = 2-\frac{3}{\alpha},
x(2\alpha-1)+8\alpha-8 = 2-\frac{3}{\alpha}.
Isolando o termo com x:
x(2\alpha-1) = 2-\frac{3}{\alpha} -8\alpha +8.
Somando 2+8=10 e colocando em uma única fração, o lado direito fica
2-\frac{3}{\alpha} -8\alpha +8 = 10 -8\alpha -\frac{3}{\alpha} = \frac{10\alpha -8\alpha^2 -3}{\alpha}.
Assim
x(2\alpha-1) = \frac{10\alpha -8\alpha^2 -3}{\alpha}.

Passo 6

Observe que o numerador 10\alpha -8\alpha^2 -3 pode ser reescrito e fatorado. Faço:
10\alpha -8\alpha^2 -3 = -(8\alpha^2 -10\alpha +3).
O quadrático 8\alpha^2 -10\alpha +3 fatoriza como (4\alpha-3)(2\alpha-1) (verificando: 4\alpha\cdot2\alpha=8\alpha^2, -4\alpha-6\alpha=-10\alpha, -3\cdot1=-3). Portanto
10\alpha -8\alpha^2 -3 = -(4\alpha-3)(2\alpha-1).
Substituindo na expressão para x:
x(2\alpha-1) = \frac{-(4\alpha-3)(2\alpha-1)}{\alpha}.
Agora, se 2\alpha-1\neq 0 (ou seja, \alpha\neq \tfrac{1}{2}), posso cancelar o fator (2\alpha-1) dos dois lados e obter
x = -\frac{4\alpha-3}{\alpha} = -4 + \frac{3}{\alpha}.

Passo 7

Tendo x, uso y=-8-2x da equação (A):
y = -8 -2\left(-4+\frac{3}{\alpha}\right) = -8 +8 -\frac{6}{\alpha} = -\frac{6}{\alpha}.
E já tínhamos z=\dfrac{3}{\alpha}. Assim, para \alpha\neq 0 e \alpha\neq \tfrac{1}{2} concluímos que existe solução única
x=-4+\frac{3}{\alpha},\qquad y=-\frac{6}{\alpha},\qquad z=\frac{3}{\alpha}.

Passo 8

Ainda falta analisar o caso especial \alpha=\tfrac{1}{2} — lembrando que já excluímos \alpha=0 antes.
Se \alpha=\tfrac{1}{2}, da equação \alpha z=3 obtemos z= \dfrac{3}{1/2}=6. Substituindo esse z em (1) e (2) temos:
(1):\;2x+y+4\cdot\frac{1}{2}\cdot 6 = 2x+y+12 =4 \;\Rightarrow\; 2x+y=-8,
(2):\;x+(1-\tfrac{1}{2})y+6 = x+\tfrac{1}{2}y+6 =2 \;\Rightarrow\; x+\tfrac{1}{2}y=-4.
Multiplicando a última por 2 2x+y=-8, que é exatamente a mesma equação obtida da (1). Ou seja, com \alpha=\tfrac{1}{2} as duas primeiras equações passam a ser a mesma restrição e a terceira já foi usada para fixar z. Ficamos, portanto, com uma única equação linear em x,y e z fixo, o que produz infinitas soluções (um parâmetro livre).
Um parâmetro canônico: tome x=t livre. Então y=-8-2t e z=6. Logo há infinitas soluções da forma
(x,y,z)=\bigl(t,\,-8-2t,\,6\bigr),\qquad t\in\mathbb{R}.

Resposta

Para \alpha=0: sem solução.
Para \alpha=\dfrac{1}{2}: infinitas soluções, (x,y,z)=\bigl(t,\,-8-2t,\,6\bigr), t\in\mathbb{R}.
Para \alpha\neq 0 e \alpha\neq \dfrac{1}{2}: única solução \displaystyle x=-4+\frac{3}{\alpha},\; y=-\frac{6}{\alpha},\; z=\frac{3}{\alpha}.

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