1. (UFSM - Vestibular/1998) Sejam a e b números reais tais que o sistema \left\{\begin{array}{l}x-2 y+z=1 \\\\ 3 x-6 y+2 z-t=a \\\\ -2 x+4 y-z+t=3 \\\ z+t=b\end{array}\right. admita solução. Então o valor de a e o valor de b devem ser, respectivamente,
    a) -2 e 8
    b) 8 e 5
    c) 5 e 8
    d) 5 e -2

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com incógnitas x,y,z,t\) e parâmetros \(a,b\): \[\begin{cases} x-2y+z=1,\\[4pt] 3x-6y+2z-t=a,\\[4pt] -2x+4y-z+t=3,\\[4pt] z+t=b. \end{cases}
Pergunta: determinar os valores de a\] e de \(b tais que o sistema admita solução.
Informações relevantes listadas:
\,1. Há quatro equações e quatro incógnitas x,y,z,t.
\,2. As constantes nos segundos membros são 1,a,3,b.
\,3. Precisamos encontrar condições sobre a e b que tornem o sistema consistente (tenha pelo menos uma solução).]

Passo 2

Método escolhido: eliminação de Gauss (redução por operações elementares). Por que? Porque é um procedimento direto para testar compatibilidade de um sistema linear: transforma o sistema em formas mais simples e revela se há equações contraditórias. Além disso permite obter relações simples entre as incógnitas (aqui veremos uma relação para z+t) que dão as condições sobre a e b.

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada do sistema (coeficientes das incógnitas x,y,z,t e a coluna dos termos independentes):
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 3 & -6 & 2 & -1 & a\\[4pt] -2 & 4 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & b \end{array}\right)
Cada linha corresponde a uma equação do sistema na ordem dada.]

Passo 4

Faço operações para eliminar x nas linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô.
Cálculo para a linha 2: L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1.
L_2: \; (3,-6,2,-1\mid a) -3(1,-2,1,0\mid 1) = (0,0,-1,-1\mid a-3).
Isto corresponde à equação -z - t = a-3, ou equivalentemente
z + t = 3 - a.
Cálculo para a linha 3: L_3 \leftarrow L_3 + 2L_1.
L_3: \; (-2,4,-1,1\mid 3) +2(1,-2,1,0\mid 1) = (0,0,1,1\mid 5).
Isto corresponde à equação z + t = 5.
A linha 4 já dá z+t=b.

Passo 5

Agora observe as três equações obtidas para z+t:
\,z+t = 3 - a (vinda da linha 2 transformada),
\,z+t = 5 (vinda da linha 3 transformada),
\,z+t = b (linha 4 original).
Para que o sistema seja consistente (admita solução) todas essas expressões para z+t devem representar o mesmo número. Ou seja, devemos ter igualdade entre elas.
Este é um ponto conceitual importante: se duas equações do sistema determinam valores diferentes para a mesma expressão z+t, então há contradição e o sistema não tem solução. Por isso igualamos as três expressões.

Passo 6

Igualo as expressões e resolvo para a e b.
Da igualdade entre z+t=3-a e z+t=5 segue
3 - a = 5.
Resolvendo: -a = 5 - 3 = 2, logo a = -2.
Da igualdade entre z+t=5 e z+t=b segue imediatamente
b = 5.
Portanto os valores que tornam o sistema compatível são a=-2 e b=5.

Passo 7

Breve comentário (útil para a prova): com a=-2 e b=5 o sistema não fica determinado unicamente (há infinitas soluções), porque após as eliminações resta liberdade (por exemplo podemos escolher t livre e então z=5-t, escolher y livre e obter x por x=1+2y-z). Isso confirma que as condições encontradas bastam para existência de solução.

Resposta

a=-2 e b=5

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