(UFSM - Vestibular/1998) Sejam a e b números reais tais que o sistema \left\{\begin{array}{l}x-2 y+z=1 \\\\ 3 x-6 y+2 z-t=a \\\\ -2 x+4 y-z+t=3 \\\ z+t=b\end{array}\right. admita solução. Então o valor de a e o valor de b devem ser, respectivamente,
a) -2 e 8
b) 8 e 5
c) 5 e 8
d) 5 e -2
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear com incógnitas x,y,z,t\) e parâmetros \(a,b\):
\[\begin{cases} x-2y+z=1,\\[4pt] 3x-6y+2z-t=a,\\[4pt] -2x+4y-z+t=3,\\[4pt] z+t=b. \end{cases}
Pergunta: determinar os valores de a\] e de \(b tais que o sistema admita solução.
Informações relevantes listadas: \,1. Há quatro equações e quatro incógnitas x,y,z,t. \,2. As constantes nos segundos membros são 1,a,3,b. \,3. Precisamos encontrar condições sobre a e b que tornem o sistema consistente (tenha pelo menos uma solução).]
Passo 2
Método escolhido: eliminação de Gauss (redução por operações elementares). Por que? Porque é um procedimento direto para testar compatibilidade de um sistema linear: transforma o sistema em formas mais simples e revela se há equações contraditórias. Além disso permite obter relações simples entre as incógnitas (aqui veremos uma relação para z+t) que dão as condições sobre a e b.
Passo 3
Escrevo a matriz aumentada do sistema (coeficientes das incógnitas x,y,z,t e a coluna dos termos independentes):
Agora observe as três equações obtidas para z+t: \,z+t = 3 - a (vinda da linha 2 transformada), \,z+t = 5 (vinda da linha 3 transformada), \,z+t = b (linha 4 original).
Para que o sistema seja consistente (admita solução) todas essas expressões para z+t devem representar o mesmo número. Ou seja, devemos ter igualdade entre elas.
Este é um ponto conceitual importante: se duas equações do sistema determinam valores diferentes para a mesma expressão z+t, então há contradição e o sistema não tem solução. Por isso igualamos as três expressões.
Passo 6
Igualo as expressões e resolvo para a e b.
Da igualdade entre z+t=3-a e z+t=5 segue
3 - a = 5.
Resolvendo: -a = 5 - 3 = 2, logo a = -2.
Da igualdade entre z+t=5 e z+t=b segue imediatamente
b = 5.
Portanto os valores que tornam o sistema compatível são a=-2 e b=5.
Passo 7
Breve comentário (útil para a prova): com a=-2 e b=5 o sistema não fica determinado unicamente (há infinitas soluções), porque após as eliminações resta liberdade (por exemplo podemos escolher t livre e então z=5-t, escolher y livre e obter x por x=1+2y-z). Isso confirma que as condições encontradas bastam para existência de solução.