(Ufu-mg 2001) Sejam x, y e z números reais positivos. Se os números \log _{10} x, \log _{10} y e \log _{10} z formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, então:
a) 2 y=x z
b) y^{2}=x+z
c) 2 y=x+z
d) y^{2}=x z

Passo 1

O enunciado diz que x,y,z são números reais positivos e que os números \log_{10} x, \log_{10} y e \log_{10} z, nessa ordem, formam uma progressão aritmética. Preciso escolher qual das alternativas abaixo é verdadeira:
a) 2y=xz
b) y^{2}=x+z
c) 2y=x+z
d) y^{2}=xz
Informações relevantes dadas:
  • x>0,\;y>0,\;z>0 (importante para as propriedades do logaritmo).
  • \log_{10} x,\\ \log_{10} y,\\ \log_{10} z estão em progressão aritmética, na ordem dada.

Passo 2

Lembrete sobre progressão aritmética (PA) para três termos.
Se três números a,b,c estão em PA (nessa ordem), isso significa que o termo do meio é a média aritmética dos extremos. Em fórmula:
2b = a + c.
Vou usar essa definição aplicando-a aos três logaritmos fornecidos.

Passo 3

Aplicando a condição de PA aos logaritmos dados:
os termos são a=\log_{10} x, b=\log_{10} y, c=\log_{10} z. Assim:
2\log_{10} y = \log_{10} x + \log_{10} z.

Passo 4

Relembrando duas propriedades básicas de logaritmos (válidas para argumentos positivos):
  1. \log_{10} (AB) = \log_{10} A + \log_{10} B. Isso significa que soma de logs vira log do produto.
  2. \log_{10} (A^2) = 2\log_{10} A. Isso transforma um coeficiente 2 em potência do argumento.
Vou aplicar essas propriedades à equação do Passo 3. Primeiro, o lado esquerdo:
2\log_{10} y = \log_{10} (y^2).
Segundo, o lado direito:
\log_{10} x + \log_{10} z = \log_{10} (xz).
Portanto a igualdade do Passo 3 pode ser reescrita como
\log_{10} (y^2) = \log_{10} (xz).

Passo 5

Agora uso o fato de que a função \log_{10} é injectiva (um a um) quando aplicada a números positivos: se \log_{10} A = \log_{10} B e A,B>0, então A=B. Como x,y,z>0, dos passos anteriores segue que
y^{2} = xz.
Essa é a relação procurada entre x,y,z.

Resposta

d) y^{2}=x z

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