(Ufu-mg 2001) Sejam
e
números reais positivos. Se os números
e
formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, então:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado diz que
são números reais positivos e que os números
,
e
, nessa ordem, formam uma progressão aritmética. Preciso escolher qual das alternativas abaixo é verdadeira:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Informações relevantes dadas:
-
(importante para as propriedades do logaritmo). -
estão em progressão aritmética, na ordem dada.
Passo 2
Lembrete sobre progressão aritmética (PA) para três termos.
Se três números estão em PA (nessa ordem), isso significa que o termo do meio é a média aritmética dos extremos. Em fórmula:
Se três números
Vou usar essa definição aplicando-a aos três logaritmos fornecidos.
Passo 3
Aplicando a condição de PA aos logaritmos dados:
os termos são ,
,
. Assim:
os termos são
Passo 4
Relembrando duas propriedades básicas de logaritmos (válidas para argumentos positivos):
-
. Isso significa que soma de logs vira log do produto. -
. Isso transforma um coeficiente 2 em potência do argumento.
Vou aplicar essas propriedades à equação do Passo 3. Primeiro, o lado esquerdo:
Segundo, o lado direito:
Portanto a igualdade do Passo 3 pode ser reescrita como
Passo 5
Agora uso o fato de que a função
é injectiva (um a um) quando aplicada a números positivos: se
e
, então
. Como
, dos passos anteriores segue que
Essa é a relação procurada entre
.
Resposta
d)