(Puc-sp) \log 50+\log 40+\log 20+\log 2,5 é igual a:
a) 1
b) 3
c) 5
d) 10
e) 1000

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão a ser avaliada:
\log 50+\log 40+\log 20+\log 2,5.
As alternativas fornecidas são:
a) \,1
b) \,3
c) \,5
d) \,10
e) \,1000

Passo 2

Regra importante que vamos usar (propriedade dos logaritmos): para logaritmos na mesma base vale
\log a + \log b = \log(ab).
Explicando por que isso é verdade: se \log a = x e \log b = y, então por definição 10^{x}=a e 10^{y}=b (assume-se base 10 quando não é indicada). Multiplicando as igualdades, 10^{x+y}=ab. Logo \log(ab)=x+y=\log a+\log b. Isso vale para qualquer par de números positivos a,b.

Passo 3

Aplicando a propriedade para somar os logaritmos em pares, é conveniente agrupar de forma que os produtos fiquem fáceis de calcular. Por exemplo:
\log 50+\log 20=\log(50\cdot20)
e
\log 40+\log 2,5=\log(40\cdot2,5).

Passo 4

Calcular os produtos internos passo a passo (tudo em conta simples, sem calculadora):
50\cdot20 = 1000, \qquad 40\cdot2,5 = 100.
Portanto
\log 50+\log 20=\log 1000, \qquad \log 40+\log 2,5=\log 100.

Passo 5

Somando os dois resultados usando novamente a propriedade:
\log 1000 + \log 100 = \log(1000\cdot100) = \log 100000.
Agora note que 100000=10^{5}. Logo
\log 100000 = \log(10^{5}) = 5.
(Isto porque \log(10^{k})=k para qualquer inteiro k.)

Passo 6

Portanto a soma dada vale \,5. Comparando com as alternativas, a correta é a letra \,c.

Resposta

c) 5

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