Qual o valor de um campo magnético capaz de fazer um próton com velocidade de 1,0.10^7 m / s descrever no espaço uma circunferência do tamanho do equador terrestre?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre qual o valor de um campo magnético que faz um próton, viajando a uma velocidade de 1,0 times 10^7 , m/s, descrever uma circunferência do tamanho do equador terrestre no espaço. Vamos usar conceitos de força magnética e movimento circular para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que está acontecendo aqui. Um próton carregado movendo-se em um campo magnético sofre uma força que o faz seguir um caminho circular. Essa força é a força magnética, que atua como a força centrípeta necessária para manter o próton nessa trajetória circular.

Passo 3

Vamos relembrar a fórmula da força magnética ( FB):
FB = q , v , B , sin(theta)
Onde:
  • q é a carga do próton,
  • v é a velocidade do próton,
  • B é a intensidade do campo magnético,
  • theta é o ângulo entre a direção da velocidade e do campo magnético.
Como o próton está descrevendo uma circunferência, assumimos que o movimento é perpendicular ao campo magnético, ou seja, theta = 90^circ e sin(90^circ) = 1. Então, a fórmula simplifica para:
FB = q , v , B

Passo 4

Agora, sabemos que essa força magnética está mantendo o próton em movimento circular, então ela é igual à força centrípeta ( Fc) necessária para manter o movimento circular:
Fc = m , v^2r
Onde:
  • m é a massa do próton,
  • v é a velocidade,
  • r é o raio da circunferência.
Igualando as duas forças:
q , v , B = m , v^2r

Passo 5

Queremos encontrar o campo magnético B, então vamos resolver a equação para B:
B = m , vq , r

Passo 6

Agora, precisamos dos valores numéricos:
  • Velocidade do próton, v = 1,0 times 10^7 , m/s
  • Massa do próton, m = 1,67 times 10^-27 , kg
  • Carga do próton, q = 1,60 times 10^-19 , C
  • Circunferência do equador terrestre, aproximadamente C = 40.075 times 10^3 , m
Primeiro, vamos encontrar o raio r da circunferência:
C = 2 pi r Rightarrow r = C2 pi = 40.075 times 10^32 pi approx 6,38 times 10^6 , m

Passo 7

Agora, substituímos todos os valores na fórmula de B:
B = (1,67 times 10^-27 , kg) times (1,0 times 10^7 , m/s)(1,60 times 10^-19 , C) times (6,38 times 10^6 , m)

Passo 8

Calculando o numerador e o denominador separadamente:
Numerador = 1,67 times 10^-27 times 1,0 times 10^7 = 1,67 times 10^-20 , kg cdot m/s
Denominador = 1,60 times 10^-19 times 6,38 times 10^6 approx 1,02 times 10^-12 , C cdot m

Passo 9

Dividindo numerador pelo denominador:
B = 1,67 times 10^-201,02 times 10^-12 approx 1,64 times 10^-8 , T

Resposta

O campo magnético necessário é aproximadamente 1,6 times 10^-8 , Tesla.

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