Uma determinada mola não obedece à lei de Hooke. A força (em newtons) que ela exerce quando distendida de uma distância x (em metros) é de F(x)=50 x+40 x^2, no sentido oposto ao da distensão. (a) Calcule o trabalho necessário para distender a mola de x=0,5 m até 1,0 m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma mola que não segue a lei de Hooke, ou seja, a força que ela exerce não é simplesmente proporcional à distensão. A força é dada por $ F(x) = 50x + 40x^{2} $ (em newtons), onde $ x $ é a distância em metros que a mola está estendida. O que a gente precisa calcular aqui é o trabalho necessário para estender essa mola de $ x = 0,5 $ metros até $ x = 1,0 $ metro. Para isso, vamos usar conceitos de trabalho e energia na física, especificamente integrando a força ao longo da distância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho $ W $ realizado por uma força que varia ao longo da distância pode ser calculado pela integral da força em relação à distância. Matemáticamente, isso é expresso como:
W
Aqui, $ a = 0,5 $ m e $ b = 1,0 $ m. Nossa força é $ F(x) = 50x + 40x^{2} $, então vamos substituir isso na integral:
W = integrala^b F(x) , dx

Passo 3

Agora, vamos calcular essa integral. A gente integra cada termo separadamente:
integral (50x) , dx = 25x^2
integral (40x^2) , dx = 403x^3
Então, a antiderivada completa é:
25x^2 + 403x^3 + C
Como estamos calculando um trabalho entre dois pontos, a constante $ C $ vai se cancelar, então podemos ignorá-la.

Passo 4

Agora, vamos avaliar a antiderivada nos limites de integração e subtrair:
W = [25x^2 + 403x^3]0,5^1,0 = (25(1,0)^2 + 403(1,0)^3) - (25(0,5)^2 + 403(0,5)^3)
Vamos calcular cada parte:
Para $ x = 1,0 $:
x = 1,0
25(1,0)^2 = 25 times 1 = 25
Total para $ x = 1,0 $:
403(1,0)^3 = 403 times 1 = 403 approx 13,33
Para $ x = 0,5 $:
x = 1,0
25 + 13,33 = 38,33
Total para $ x = 0,5 $:
x = 0,5
Agora, subtraímos:
25(0,5)^2 = 25 times 0,25 = 6,25

Resposta

O trabalho necessário para estender a mola de 0,5 m até 1,0 m é aproximadamente 30,41 joules.

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