Uma determinada mola não obedece à lei de Hooke. A força (em newtons) que ela exerce quando distendida de uma distância
(em metros) é de
, no sentido oposto ao da distensão. (a) Calcule o trabalho necessário para distender a mola de
até
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma mola que não segue a lei de Hooke, ou seja, a força que ela exerce não é simplesmente proporcional à distensão. A força é dada por $ F(x) = 50x + 40x^{2} $ (em newtons), onde $ x $ é a distância em metros que a mola está estendida. O que a gente precisa calcular aqui é o trabalho necessário para estender essa mola de $ x = 0,5 $ metros até $ x = 1,0 $ metro. Para isso, vamos usar conceitos de trabalho e energia na física, especificamente integrando a força ao longo da distância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho $ W $ realizado por uma força que varia ao longo da distância pode ser calculado pela integral da força em relação à distância. Matemáticamente, isso é expresso como:
Aqui, $ a = 0,5 $ m e $ b = 1,0 $ m. Nossa força é $ F(x) = 50x + 40x^{2} $, então vamos substituir isso na integral:
Passo 3
Agora, vamos calcular essa integral. A gente integra cada termo separadamente:
Então, a antiderivada completa é:
Como estamos calculando um trabalho entre dois pontos, a constante $ C $ vai se cancelar, então podemos ignorá-la.
Passo 4
Agora, vamos avaliar a antiderivada nos limites de integração e subtrair:
Vamos calcular cada parte:
Para $ x = 1,0 $:
Total para $ x = 1,0 $:
Para $ x = 0,5 $:
Total para $ x = 0,5 $:
Agora, subtraímos:
Resposta
O trabalho necessário para estender a mola de 0,5 m até 1,0 m é aproximadamente 30,41 joules.