Uim rebatedor acerta uma bola de beisebol atirada à altura de 1,2 m acima do chão de modo que o ângulo da rebatida é de 45^circ e seu alcance horizontal é 107 m . A bola viaja para a parte esquerda do campo, onde há uma cerca de 7,3 m de altura, localizada a 98 m do ponto de onde a bola foi rebatida. A bola consegue ultrapassar a cerca? Se conseguir, a que altura acima da cerca ela passa?

Passo 1

Beleza! A questão é de cinemática de projéteis: um rebatedor acerta a bola a 1,2 m de altura, com ângulo de , e ela aterrissa a 107 m de distância horizontal. Tem uma cerca de 7,3 m no campo a 98 m do ponto de rebatida. Queremos saber se a bola passa essa cerca e, se passar, a que altura acima dela.
Para resolver, vamos usar:
  • Equações paramétricas do movimento (desprezando resistência do ar)
  • Gravidade
  • Trigonometria básica ( )

Passo 2

Escrevendo as equações do movimento, tomando x(t) = v0costheta ;t, y(t) = y0 + v0sintheta ;t ;-;tfrac12,g,t^2, no instante da rebatida:
onde
, , e é a velocidade inicial que ainda não conhecemos.

Passo 3

A bola atinge o chão ( tR = 107v0cos45^circ ) quando 0 = 1,2 + v0sin45^circ;tR ;-;tfrac12,g,tR^2 . Então:
  1. Da equação horizontal, o tempo de voo v0^2 = g,(107)^22cos^2 45^circ;l(1,2 + 107,tan45^circr) approx 1037,1Longrightarrow v0 approx 32,2rm,m/s satisfaz
  2. Em , . Substituindo em : Plugando da eq. anterior e sabendo que , obtemos (depois de arrumar as contas)

Passo 4

Agora calculamos o tempo em que a bola chega à posição horizontal t98 = 98v0cos45^circ = 9832,2cdotraiz22 approx 4,30rm,s :

Passo 5

Em y(4,30) = 1,2 + v0sin45^circ,(4,30) - tfrac12,g,(4,30)^2 approx 8,4rm,m , a altura da bola é
De
Como a cerca tem 7,3 m, a bola passa acima:

Resposta

Sim, a bola ultrapassa a cerca e passa cerca de 1,1 m acima dela.

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