Um observador de radar no chão percebe a aproximação de um projétil. Em certo instante ele tem as seguintes informações: o projétil está em sua altitude máxima e se move horizontalmente com velocidade
; a distância em linha reta até o projétil é
; a linha de visada até o projétil faz o ângulo
com a horizontal. (a) Ache a distância
entre o observador e o ponto de impacto do projétil. Expresse
em termos das grandezas observadas
e do valor conhecido de
. Considere a Terra como plana; considere também que o observador está no plano da trajetória do projétil. (b) Como você poderia prever se o projétil vai passar por cima da cabeça do observador ou acertar o solo antes de alcançá-lo?
Passo 1
Beleza, vamos lá. O enunciado diz que um projétil está no ponto de altura máxima (ou seja, só com velocidade horizontal de módulo
) e o observador no chão mede:
- distância em linha reta até o projétil:
- ângulo de visada com a horizontal:
A matéria que usamos é cinemática: decompor vetores pela trigonometria, queda livre (movimento uniformemente variado na vertical) e MRU na horizontal.
Passo 2
Primeiro a gente separa
em componentes horizontal e vertical usando trigonometria:
- Altura do projétil no ápice:
- Distância horizontal (no solo) entre o observador e o projétil:
Passo 3
Agora cai livremente de altura
. O tempo de queda
sai da fórmula
Resolvendo para
:
Passo 4
Na horizontal, o projétil segue MRU com velocidade
. Em tempo
ele percorre
Passo 5
Como ele está vindo em direção ao observador, a distância do ponto de impacto ao observador é a diferença entre
e
:
Passo 6
Critério para saber se passa por cima ou cai antes:
- Se
, ou seja então e o projétil atinge o solo depois de passar sobre o observador (passa por cima da cabeça). - Se
, então e ele cai antes de chegar no observador.
Resposta
(a)
(b) O projétil passa por cima da cabeça do observador se
caso contrário ele atinge o solo antes de chegar no observador.