Um observador de radar no chão percebe a aproximação de um projétil. Em certo instante ele tem as seguintes informações: o projétil está em sua altitude máxima e se move horizontalmente com velocidade v; a distância em linha reta até o projétil é L; a linha de visada até o projétil faz o ângulo theta com a horizontal. (a) Ache a distância D entre o observador e o ponto de impacto do projétil. Expresse D em termos das grandezas observadas v, L, theta e do valor conhecido de g. Considere a Terra como plana; considere também que o observador está no plano da trajetória do projétil. (b) Como você poderia prever se o projétil vai passar por cima da cabeça do observador ou acertar o solo antes de alcançá-lo?

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que um projétil está no ponto de altura máxima (ou seja, só com velocidade horizontal de módulo ) e o observador no chão mede:
  • distância em linha reta até o projétil:
  • ângulo de visada com a horizontal:
    A matéria que usamos é cinemática: decompor vetores pela trigonometria, queda livre (movimento uniformemente variado na vertical) e MRU na horizontal.

Passo 2

Primeiro a gente separa H = L,sintheta em componentes horizontal e vertical usando trigonometria:
  • Altura do projétil no ápice: x0 = L,costheta
  • Distância horizontal (no solo) entre o observador e o projétil:

Passo 3

Agora cai livremente de altura H = tfrac12,g,t^2. O tempo de queda t = raiz2Hg = raiz2,Lsinthetag sai da fórmula
Resolvendo para :

Passo 4

Na horizontal, o projétil segue MRU com velocidade De. Em tempo ele percorre

Passo 5

Como ele está vindo em direção ao observador, a distância do ponto de impacto ao observador é a diferença entre D = x0 - De e :

Passo 6

Critério para saber se passa por cima ou cai antes:
  • Se v,raiztfrac2,Lsinthetag ;>; Lcostheta, , ou seja então e o projétil atinge o solo depois de passar sobre o observador (passa por cima da cabeça).
  • Se , então e ele cai antes de chegar no observador.

Resposta

(a) v,raiz2,Lsinthetag > Lcostheta,
(b) O projétil passa por cima da cabeça do observador se
caso contrário ele atinge o solo antes de chegar no observador.

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