Ulm corpo pequeno de 0,2 kg de massa é ligado a um fio de 0,8 m de comprimento e gira numa trajetória circular cujo plano é horizontal. O fio faz um ângulo de 50^circ com a vertical, durante todo o tempo. Ache a velocidade linear da massa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um corpo de massa $ 0,2 , kg $ preso a um fio de $ 0,8 , m $ que gira em uma trajetória circular horizontal. O fio forma um ângulo de $ 50^\circ $ com a vertical. Nosso objetivo é encontrar a velocidade linear dessa massa. Para isso, vamos usar conceitos de movimento circular uniforme, forças em equilíbrio e trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. O fio faz um ângulo de $ 50^\circ $ com a vertical, o que significa que a massa está se movendo em um círculo horizontal com um certo raio. Precisamos identificar as forças atuando na massa:
  1. Força peso ($ P $): força para baixo devido à gravidade.
  2. Tensão no fio ($ T $): força que age ao longo do fio, com componentes na vertical e horizontal.

Passo 3

Vamos decompor a tensão no fio em duas componentes:
  • Componente vertical ($ T_v $): Equilibra o peso da massa.
  • Componente horizontal ($ T_h $): Fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular.
Matematicamente, isso fica assim:
Tv
Th
Onde $ \theta = 50^\circ $.

Passo 4

Na direção vertical, a força peso é equilibrada pela componente vertical da tensão:
Tv = P
T cdot cos(theta) = m cdot g
Onde:
  • $ m = 0,2 , kg $
  • $ g = 9,8 , m/s^2 $

Passo 5

Vamos resolver para a tensão $ T $:
T
Substituindo os valores:
T = m cdot gcos(theta)

Passo 6

Agora, a componente horizontal da tensão fornece a força centrípeta:
Th = T cdot sin(theta) = m cdot v^2r
Onde $ v $ é a velocidade linear que queremos encontrar e $ r $ é o raio da trajetória circular.

Passo 7

Precisamos encontrar o raio $ r $ da trajetória. Podemos usar a relação trigonométrica no triângulo formado pelo fio:
r
sin(theta) = rL
Substituindo os valores:
r = L cdot sin(theta)

Passo 8

Agora, substituímos $ T $ e $ r $ na equação da força centrípeta:
T
Simplificando:
r
m cdot gcos(theta) cdot sin(theta) = m cdot v^2r

Passo 9

Resolvendo para $ v $:
v
Agora, substituímos $ r = L \cdot \sin(\theta) $:
v = raizg cdot r cdot tan(theta)

Passo 10

Vamos calcular os valores numéricos:
sin(50^circ) approx 0,7660
tan(50^circ) approx 1,1918
r = 0,8 cdot 0,7660 approx 0,6128 , m
v = raiz9,8 cdot 0,6128 cdot 1,1918 approx raiz7,154 approx 2,676 , m/s

Resposta

A velocidade linear da massa é aproximadamente $ 2,68 , m/s $.

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