Ulm corpo pequeno de
de massa é ligado a um fio de
de comprimento e gira numa trajetória circular cujo plano é horizontal. O fio faz um ângulo de
com a vertical, durante todo o tempo. Ache a velocidade linear da massa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um corpo de massa $ 0,2 , kg $ preso a um fio de $ 0,8 , m $ que gira em uma trajetória circular horizontal. O fio forma um ângulo de $ 50^\circ $ com a vertical. Nosso objetivo é encontrar a velocidade linear dessa massa. Para isso, vamos usar conceitos de movimento circular uniforme, forças em equilíbrio e trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. O fio faz um ângulo de $ 50^\circ $ com a vertical, o que significa que a massa está se movendo em um círculo horizontal com um certo raio. Precisamos identificar as forças atuando na massa:
- Força peso ($ P $): força para baixo devido à gravidade.
- Tensão no fio ($ T $): força que age ao longo do fio, com componentes na vertical e horizontal.
Passo 3
Vamos decompor a tensão no fio em duas componentes:
- Componente vertical ($ T_v $): Equilibra o peso da massa.
- Componente horizontal ($ T_h $): Fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular.
Matematicamente, isso fica assim:
Onde $ \theta = 50^\circ $.
Passo 4
Na direção vertical, a força peso é equilibrada pela componente vertical da tensão:
Onde:
- $ m = 0,2 , kg $
- $ g = 9,8 , m/s^2 $
Passo 5
Vamos resolver para a tensão $ T $:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, a componente horizontal da tensão fornece a força centrípeta:
Onde $ v $ é a velocidade linear que queremos encontrar e $ r $ é o raio da trajetória circular.
Passo 7
Precisamos encontrar o raio $ r $ da trajetória. Podemos usar a relação trigonométrica no triângulo formado pelo fio:
Substituindo os valores:
Passo 8
Agora, substituímos $ T $ e $ r $ na equação da força centrípeta:
Simplificando:
Passo 9
Resolvendo para $ v $:
Agora, substituímos $ r = L \cdot \sin(\theta) $:
Passo 10
Vamos calcular os valores numéricos:
Resposta
A velocidade linear da massa é aproximadamente $ 2,68 , m/s $.