Ulm corpo pequeno de 0,2 kg de massa é ligado a um fio de 0,8 m de comprimento e gira numa trajetória circular cujo plano é horizontal. O fio faz um ângulo de 50^circ com a vertical, durante todo o tempo. Ache o tempo necessário para uma revolução completa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um corpo pequeno de 0,2 kg ligado a um fio de 0,8 m de comprimento que está girando em um círculo no plano horizontal. O fio faz um ângulo de 50° com a vertical durante todo o movimento. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo esse corpo leva para fazer uma volta completa.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento circular uniforme, força centrípeta e componentes das forças. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar uma situação imaginária. Imagine o fio fazendo um ângulo de 50° com a vertical enquanto o corpo gira. Isso significa que o fio tem duas componentes de força: uma para cima (contrabalançando a gravidade) e outra horizontal (fornecendo a força centrípeta que mantém o movimento circular).

Passo 3

Vamos identificar as forças atuando no sistema:
  1. Peso do corpo §: Essa é a força da gravidade puxando o corpo para baixo. Ela é dada por:
    P = m cdot g
    onde $ m = 0,2 , kg $ e $ g = 9,8 , m/s^2 $.
  2. Tensão no fio (T): O fio exerce uma força que tem duas componentes:
    • Vertical (T \cos \theta): Equilibra o peso do corpo.
    • Horizontal (T \sin \theta): Fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular.

Passo 4

Vamos calcular o peso do corpo:
P = 0,2 , kg times 9,8 , m/s^2 = 1,96 , N

Passo 5

Na direção vertical, a tensão do fio equilibra o peso:
T cos theta = P implies T = Pcos theta
Substituindo os valores:
T = 1,96 , Ncos 50° approx 1,960,6428 approx 3,05 , N

Passo 6

Agora, na direção horizontal, a componente da tensão fornece a força centrípeta ($ F_c $):
Fc
onde $ a_c $ é a aceleração centrípeta.
Substituindo os valores:
Fc = T sin theta = m cdot ac

Passo 7

A força centrípeta também pode ser expressa em termos da velocidade ($ v v r $) do movimento circular:
r
Mas precisamos encontrar o raio. Como o fio faz um ângulo de 50° com a vertical, o raio é:
Fc = m v^2r

Passo 8

Agora, igualamos as duas expressões para $ F_c $:
Fc
Resolvendo para $ v $:
m v^2r = 2,34 , N
v

Passo 9

Agora que temos a velocidade, podemos encontrar o tempo necessário para uma revolução completa. O período ($ T $) é o tempo para uma volta, e está relacionado com a velocidade e o perímetro da trajetória:
T
Substituindo os valores:
T = 2pi rv

Resposta

O tempo necessário para uma revolução completa é aproximadamente 1,44 segundos.

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