Ulm corpo pequeno de
de massa é ligado a um fio de
de comprimento e gira numa trajetória circular cujo plano é horizontal. O fio faz um ângulo de
com a vertical, durante todo o tempo. Ache o tempo necessário para uma revolução completa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um corpo pequeno de 0,2 kg ligado a um fio de 0,8 m de comprimento que está girando em um círculo no plano horizontal. O fio faz um ângulo de 50° com a vertical durante todo o movimento. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo esse corpo leva para fazer uma volta completa.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento circular uniforme, força centrípeta e componentes das forças. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar uma situação imaginária. Imagine o fio fazendo um ângulo de 50° com a vertical enquanto o corpo gira. Isso significa que o fio tem duas componentes de força: uma para cima (contrabalançando a gravidade) e outra horizontal (fornecendo a força centrípeta que mantém o movimento circular).
Passo 3
Vamos identificar as forças atuando no sistema:
-
Peso do corpo §: Essa é a força da gravidade puxando o corpo para baixo. Ela é dada por:onde $ m = 0,2 , kg $ e $ g = 9,8 , m/s^2 $.
-
Tensão no fio (T): O fio exerce uma força que tem duas componentes:
- Vertical (T \cos \theta): Equilibra o peso do corpo.
- Horizontal (T \sin \theta): Fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular.
Passo 4
Vamos calcular o peso do corpo:
Passo 5
Na direção vertical, a tensão do fio equilibra o peso:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, na direção horizontal, a componente da tensão fornece a força centrípeta ($ F_c $):
onde $ a_c $ é a aceleração centrípeta.
Substituindo os valores:
Passo 7
A força centrípeta também pode ser expressa em termos da velocidade ($ v
r $) do movimento circular:
Mas precisamos encontrar o raio. Como o fio faz um ângulo de 50° com a vertical, o raio é:
Passo 8
Agora, igualamos as duas expressões para $ F_c $:
Resolvendo para $ v $:
Passo 9
Agora que temos a velocidade, podemos encontrar o tempo necessário para uma revolução completa. O período ($ T $) é o tempo para uma volta, e está relacionado com a velocidade e o perímetro da trajetória:
Substituindo os valores:
Resposta
O tempo necessário para uma revolução completa é aproximadamente 1,44 segundos.