Ulma amostra de gás ideal a 15,0^{\circ} \mathrm{C} à pressão de 170 kPa ocupa 1,50 \mathrm{~m}^{3}.
a. Quantos mols de gás há?
b. Se a pressão aumenta para 220 kPa e a temperatura aumenta para 32,0^{\circ} \mathrm{C}, qual o volume final?

Passo 1

O enunciado dá os estados inicial e final do gás e pede duas coisas:
  • a) Quantos mols de gás há no estado inicial?
  • b) Qual o volume final se a pressão aumenta para 220\\ \text{kPa} e a temperatura para 32{,}0^\circ\text{C}?
Informações fornecidas (peguei esses números do enunciado/imagem):
  • Temperatura inicial: T_1 = 15{,}0^\circ\text{C}.
  • Pressão inicial: P_1 = 170\\ \text{kPa}.
  • Volume inicial: V_1 = 1{,}50\\ \text{m}^3.
  • Pressão final: P_2 = 220\\ \text{kPa}.
  • Temperatura final: T_2 = 32{,}0^\circ\text{C}.
O que vamos precisar fazer: converter temperaturas para kelvin e pressões para pascal (SI), usar a lei dos gases ideais para (a) e a lei combinada/razão P V/T= constante para (b).

Passo 2

Primeiro a teoria mínima e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Lei dos gases ideais: P V = n R T
onde
  • P é a pressão (em pascal, \mathrm{Pa});
  • V é o volume (em \mathrm{m}^3);
  • n é o número de mols (o que queremos em (a));
  • R é a constante universal dos gases, R = 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}};
  • T é a temperatura absoluta (em kelvin, K).
Para (a) isolamos n:
n=\frac{P V}{R T}.
Explicando passo a passo: essa fórmula vem de rearranjar P V = n R T. O numerador P V tem unidades de energia ( \mathrm{Pa\cdot m^3}=\mathrm{J}), o denominador R T também tem unidades de energia por mol, então a divisão dá mols.
Unidades e conversões que vou usar:
  • Converter temperaturas para kelvin: T(K)=T(^{\circ}\!C)+273{,}15.
  • Converter pressão de kPa para Pa: 1\\ \mathrm{kPa}=1000\\ \mathrm{Pa}.

Passo 3

Fazendo as conversões numéricas:
  • T_1 = 15{,}0^\circ\text{C} \Rightarrow T_1 = 15{,}0 + 273{,}15 = 288{,}15\\ \mathrm{K}.
  • T_2 = 32{,}0^\circ\text{C} \Rightarrow T_2 = 32{,}0 + 273{,}15 = 305{,}15\\ \mathrm{K}.
  • P_1 = 170\\ \mathrm{kPa} \Rightarrow P_1 = 170\cdot 1000 = 170\,000\\ \mathrm{Pa}.
  • P_2 = 220\\ \mathrm{kPa} \Rightarrow P_2 = 220\cdot 1000 = 220\,000\\ \mathrm{Pa}.
Agora calculo o número de mols usando \,n=\dfrac{P_1 V_1}{R T_1}.
Substituindo os valores:
n=\frac{170\,000\\ \mathrm{Pa}\cdot 1{,}50\\ \mathrm{m}^3}{8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\cdot 288{,}15\\ \mathrm{K}}.
Calculemos passo a passo:
  • Numerador: 170\,000\cdot 1{,}50 = 255\,000.
  • Denominador: 8{,}314\cdot 288{,}15 \approx 2\,395{,}68.
  • Divisão: n \approx \frac{255\,000}{2\,395{,}68}\approx 106{,}4\\ \mathrm{mol}.
Arredondando com três algarismos significativos (consistentes com os dados), fica \,n \approx 1{,}06\times 10^{2}\\ \mathrm{mol} ou \,106\\ \mathrm{mol} (aprox).

Passo 4

Agora a parte (b): volume final V_2.
Usamos a lei combinada dos gases (derivada de P V = n R T com n constante):
\frac{P_1 V_1}{T_1}=\frac{P_2 V_2}{T_2}\quad\Rightarrow\quad V_2 = V_1\cdot\frac{P_1}{P_2}\cdot\frac{T_2}{T_1}.
Substituo os números (usando os valores já convertidos para SI):
V_2 = 1{,}50\\ \mathrm{m}^3 \cdot \frac{170\,000}{220\,000}\cdot \frac{305{,}15}{288{,}15}.
Calculemos passo a passo:
  • Razão de pressões: \dfrac{170\,000}{220\,000}=\dfrac{170}{220}=0{,}772727\ldots.
  • Razão de temperaturas: \dfrac{305{,}15}{288{,}15}\approx 1{,}05903.
  • Produto das razões: 0{,}772727\ldots \times 1{,}05903 \approx 0{,}81834.
  • Multiplicando por V_1: V_2 \approx 1{,}50\times 0{,}81834 \approx 1{,}2275\\ \mathrm{m}^3.
Arredondando com três algarismos significativos: V_2 \approx 1{,}23\\ \mathrm{m}^3.

Passo 5

Pequeno resumo e checagem (para te deixar mais confiante):
  • O número de mols não muda quando só alteramos P e T (a não ser que o enunciado diga que gás entra/saida). Calculamos n direto com a equação dos gases ideais.
  • Para o volume final usamos a relação P V/T= constante. Fiz a conversão correta de unidades (kPa→Pa, °C→K) e mantive R em unidades SI.
  • Os resultados estão arredondados adequadamente conforme as cifras dadas no enunciado.

Resposta

(a) n \approx 1{,}06\times 10^{2}\\ \mathrm{mol}
(b) V_2 \approx 1{,}23\\ \mathrm{m}^3

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