Nos últimos anos, a distribuição de Weibull tem sido usada para modelar emissões de poluentes de vários motores. Seja X o valor da emissão de NOx (g/gal) a partir de certo tipo de motor selecionado aleatoriamente e suponha que X possua uma distribuição de Weibull com alpha=2 e beta=10. Qual a probabilidade da emissão não exceder 25 g / gal ? Resposta: 0,998

Passo 1

Beleza, vamos recapitular rapidinho o que o enunciado pediu. A questão fala de uma variável aleatória que mede a emissão de NOx de um motor e segue uma distribuição de Weibull com parâmetros (forma) e (escala). A pergunta é: “Qual a probabilidade de não exceder ?”. O conteúdo que a gente precisa usar aqui é a definição da função de distribuição acumulada (CDF) da Weibull e como calcular essa probabilidade.

Passo 2

Teoria: distribuição de Weibull
  1. A função de densidade de probabilidade (PDF) da Weibull é
f(x) = alphabeta l(xbetar)^alpha - 1 e^-(x/beta)^alpha, & x >= 0, 0, & x < 0
  1. A função de distribuição acumulada (CDF), que dá F(x) = 1 - e^-(x/beta)^alpha, x >= 0 , é
Essa CDF é o que a gente vai usar pra descobrir a probabilidade de não passar de 25.

Passo 3

Aplicando a fórmula da CDF
Queremos F(25) = 1 - e^-(25/beta)^alpha . Então, basta usar
F(25) = 1 - e^-l(tfrac2510r)^2 = 1 - e^-(2.5)^2 = 1 - e^-6.25
Sabendo que e , substituímos:

Passo 4

Calculando o valor numérico
  1. Primeiro, calcula e^-6.25 approx 0,00193 .
  2. Depois, calcula F(25) = 1 - 0,00193 approx 0,99807 . Você pode usar uma calculadora:
  3. Finalmente,
Arredondando geralmente para três casas decimais, dá .

Resposta

A probabilidade de a emissão de NOx não exceder é aproximadamente .

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